Jérémie Unterberger

Maître de conférences à l'Institut Elie Cartan de Nancy

Institut Elie Cartan
Université de Lorraine
BP 239
54506 Vandoeuvre-les-Nancy Cedex,
France
Tél. : (00 33)3 83 68 45 17
E-mail :  jeremie.unterberger@univ-lorraine.fr




CURRICULUM VITAE DETAILLE

ACTIVITES DE RECHERCHE

ENSEIGNEMENT



HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES (cliquer sur le lien) :

Symétries dynamiques schrödingériennes et singularités locales des champs gaussiens fractionnaires (2010).
Habilitation à diriger des recherches
de l'université Nancy I.


QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS (avec liens) :
       
voir rubrique
Thèmes de recherche ci-dessous




Lien vers liste d'articles

La plupart des articles sont disponibles sur arXiv (math-ph, math.PR,  hep-th ou cond-mat) ou sur Hal.

Membre de l'ANR Singular (Equations aux dérivées partielles singulières) et du
                      GDR Renorm (Renormalisation: aspects algébriques, analytiques et géométriques)


Intérêts scientifiques


Dynamiques de matrices aléatoires et systèmes quantiques 1D


Physique statistique
Processus stochastiques (chemins rugueux)
Symétries hamiltoniennes en dimension infinie
E.D.P./ E.D.P. stochastiques
Applications rigoureuses de la théorie des champs
Physique quantique
Algèbres de Hopf combinatoires
Ondelettes et généralisations
Limites hydrodynamiques


Exposé sur les chemins rugueux   (version rallongée d'un exposé donné au Séminaire Lotharingien de Combinatoire, 2012)




Thèmes de recherche



1. Chemins rugueux, théorie constructive des champs, algèbres de Hopf,
     processus stochastiques fractionnaires et géométrie sous-riemannienne


Depuis 2007, je me suis intéressé aux géométries locales singulières induites par des chemins irréguliers
(de faible régularité Hölder). Intégrer une 1-forme différentielle le long d'un chemin irrégulier, ou résoudre une
équation différentielle (déterministe ou stochastique) contre un tel chemin, est un problème difficile, a priori mal posé,
dont la très riche structure mathématique et physique apparaît progressivement. De la formulation géométrique en
termes de géométrie sous-riemannienne, à la formulation axiomatique en termes de chemins rugueux ("rough paths"),
j'en suis venu à une classification générale formelle des solutions à ce problème utilisant des algèbres de Hopf d'arbres 
(notamment l'algèbre de Hopf de Connes et Kreimer), puis à des constructions explicites à l'aide de méthodes multi-échelles
provenant de la théorie des champs (renormalisation des diagrammes de Feynman).
L'article en collaboration avec J. Magnen
(Centre de Physique Théorique, Ecole Polytechnique) montrent comment réinterpréter ce problème entièrement dans le langage
de la théorie des champs. La régularisation des intégrales se fait alors en rajoutant une interaction singulière à la manière d'une
mesure de Gibbs obtenue par perturbation de mesure gaussienne. Une autre possibilité serait sans doute de rajouter un drift
singulier et de définir l'équation différentielle stochastique singulière ainsi obtenue par un procédé multi-échelles.



QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS :


Aspects de la théorie des chemins rugueux. Gazette de la SMF (janvier 2012).

Nous présentons dans ce court article de revue la théorie des chemins rugueux (ou "rough paths")
dans son ensemble,
et plus particulièrement notre approche physico-algébrique, développée dans
plusieurs articles.


Mode d'emploi de la théorie constructive des champs bosoniques (avec une application aux chemins rugueux).
A user's guide to bosonic constructive field theory.

Confluentes Mathematici 4, 1 (2012)   http://arxiv.org/abs/1102.4238

Cet article de revue est destiné en premier lieu aux lecteurs connaissant la théorie perturbative
des champs (diagrammes de Feynman et renormalisation à la Wilson ou à la Callan-Symanzik) et
souhaitant apprendre les arguments constructifs (ou mathématiquement rigoureux).
Il donne également une courte introduction à la thématique des chemins rugueux dans
ce contexte.


en collaboration avec Jacques Magnen: From constructive field theory to fractional stochastic calculus.

(I) An introduction:
rough path theory and perturbative heuristics.
  Annales Henri Poincaré 12, 1199-1226 (2011).   http://arxiv.org/abs/1012.3873

(II) Constructive proof of convergence for the Lévy area of fractional Brownian motion with Hurst index $\alpha\in(1/8,1/4)$.
Annales Henri Poincaré 13, 209-270 (2011).  http://arxiv.org/abs/1103.1750

Ces articles sont les premiers d'une série proposant une relecture physique et géométrique nouvelle
de la théorie des chemins rugueux. Ils devraient déboucher également sur des applications en géométrie
sous-riemannienne.



En collaboration avec Loic Foissy: Ordered forests, permutations and iterated integrals. 
International Mathematics Research Notices (2012).     http://arxiv.org/abs/1004.5208
Cet article donne les soubassements algébriques (algèbres de Hopf combinatoires) des travaux
sur l'algorithme de mise en ordre normal de Fourier.


Hölder-continuous rough paths by Fourier normal ordering.
     
Communications in Mathematical Physics 298   (1), 1-36 (2010).  http://arxiv.org/abs/0903.2716
A rough path over multidimensional fractional Brownian motion with arbitrary Hurst index
      by Fourier normal ordering.
      Stochastic Processes and their Applications 120 (8), 1444-1472 (2010).   
http://arxiv.org/abs/0901.4771
Premier article sur l'algorithme de mise en ordre normal de Fourier, et application au cas du
brownien fractionnaire.





2. Physique mathématique, géométrie et applications

De la découverte de l'invariance conforme en dimension 2 dans les années 80 par les physiciens théoriciens
aux travaux probabilistes de S. Smirnov, Werner-Schramm-Lawler... donnant une vérification éclatante des
prédictions des physiciens, une voie royale semble s'ouvrir à l'interaction entre géométrie conforme, groupes
et algèbres de Lie de dimension infinie (algèbres de Kac-Moody et de Virasoro), physique mathématique
(théorie conforme des champs, systèmes intégrables), physique statistique (modèles sur réseau) et probabilités
discrètes.

Mes recherches se sont orientées vers l'exploration systématique de groupes de symétries de dimension infinie
surgissant a priori dans un contexte de physique statistique hors-équilibre. L'invariance schrödingérienne ou
sous le groupe de Schrödinger-Virasoro est le pendant de l'invariance conforme dans ce contexte. On la retrouve
notamment dans l'étude des formes normales des opérateurs de Schrödinger. L'algèbre de Schrödinger-Virasoro
a une structure mathématique très riche (représentations, cohomologie, structures de Poisson,...). Une monogra-
phie présentant ces travaux, en collaboration avec C. Roger, a été publiée chez Springer dans la collection
Theoretical and Mathematical Physics (cf. lien ci-dessous vers liste  d'articles). Elle épouse en partie le point de vue
d'Arnold et Khesin (cf. leur livre Topological methods in hydrodynamics),  selon lequel les équations de la physique
sont des équations de la mécanique hamiltonienne en dimension infinie associée à des groupes de difféomorphismes, 
et exploité par G. Misiolek, Y. Brenier, A. Shnirelman ... pour l'étude de l'équation d'Euler par exemple.

Mes travaux actuels sur les dynamiques de log-gas (ou dynamiques de matrices aléatoires) et les systèmes quantiques 
intégrables 1D-- cf. auss thématique suivante  -- donnent un contexte de recherches très actuel où ce type d'invariance
joue un rôle très significatif.



QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS :

LIVRE en collaboration avec Claude Roger (préface de Malte Henkel) : 
             The Schrödinger-Virasoro algebra. Mathematical structure and dynamical Schrödinger symmetries.
            
Paru chez Springer (2012), Theoretical and Mathematical Physics.
Reprend l'intégralité des travaux publiés, avec une mise en perspective mathématique et physique.


A classification of periodic time-dependent generalized harmonic oscillators using
      a Hamiltonian action of the Schr\"odinger-Virasoro group.
Confluentes Mathematicae 2 (2), 217-263 (2010).
      http://arxiv.org/abs/0806.1185
Une étude à la Kirillov d'un espace d'opérateurs aux dérivées partielles mêlant théorie des représentations,
étude géométrique des orbites, mécanique quantique et étude spectrale (l'un des résultats essentiels
étant la détermination explicite de l'opérateur de monodromie pour des formes normales).

Cette étude se prolonge de manière naturelle et tout à fait actuelle par l'étude du problème à N corps associé,
appelé modèle de Tonks-Girardeau (système de bosons 1D soumis à un potentiel infiniment répulsif, limite idéale du modèle
de Lieb-Liniger),  de sa limite thermodynamique, et de ses propriétés de thermalisation façon GGE (Generalized
Gaussian Ensemble):

(avec Dragi Karevski et Stefano Scopa)
      Classification of periodic quenches for Tonks-Girardeau gases in harmonic traps (en préparation)


avec Claude Roger,
      A Hamiltonian action of the Schr\"odinger-Virasoro algebra on a space of
      periodic time-dependent Schr\"odinger operators in (1+1)-dimensions. 
Journal of
       Nonlinear Mathematical Physics 17 (3), 257--279 (2010).
http://arxiv.org/abs/0810.0902
Cette étude explore un point de vue poissonnien original  (via l'introduction d'un espace
de lacets au-dessus de l'espace des symboles pseudo-différentiels formels, source de nombre
de systèmes intégrables parmi les plus connus).

avec Claude Roger,
      The Schrödinger-Virasoro Lie group and algebra: from geometry to representation
      theory, 
Ann. Henri Poincaré 7 (2006), 1477--1529.
http://arxiv.org/abs/math-ph/0601050

Premier article sur le sujet, mélangeant points de vue géométrique (variétés de Newton-Cartan),
algébrique (théorie des représentations, cohomologie des algèbres de Lie de dimension infinie)
 et poissonnien.




3. Dynamiques de matrices aléatoires et systèmes quantiques 1D

La troisième thématique a été développée plus récemment, suite au groupe de travail co-organisé en 2014-2015 à l'IECL autour de l'effet Hall quantique, et
grâce à une collaboration suivie avec Nick Simm, de l'Université de Warwick, spécialiste en matrices aléatoires, et avec les physiciens de l'équipe de physique théorique
de l'Institut Jean Lamour (IJL) de Nancy, notamment D. Karevski et J. Dubail.

Le point de départ est l'étude du mouvement brownien de Dyson, système d'équations différentielles stochastiques couplées décrivant au choix une évolution temporelle stochastique
des valeurs propres de matrices aléatoires, de mesure d'équilibre donnée par une généralisation de GUE avec $\beta$ quelconque, ou une dynamique de Langevin pour $N$ particules
dans un potentiel de confinement $V$, 
couplées via un potentiel logarithmique. 

Nous considérons ce modèle sous deux angles différents:

1. Nous cherchons à déterminer son comportement asymptotique pour $N$ grand dans deux régimes différents.

Le régime macroscopique fait apparaître une équation de McKean-Vlasov. Dans le cas où V est quadratique, la loi des fluctuations gaussiennes autour de cette limite hydrodynamique a été déterminée;
la méthode repose sur une ttransformation de Cauchy et la résolution explicite de l'équation des
caractéristiques associée à l'équation de Burgers complexe obtenue à partir de l'équation de McKean-Vlasov.
Nous avons montré comment obtenir une EDP explicite pour les fonctions de corrélation temporelles pour V général, que nous
résolvons. Dans le régime microscopique, nous fondant sur la méthode de
relaxation
entropique à la Bakry-Emery utilisée récemment dans une série de travaux par Erdös, Yau, Bourgade, Schlein... pour prouver l'universalité du"sine kernel", nous conjecturons que la structure
déterminantale des corrélations temporelles, démontrée entre autres par Tracy-Widom  dans le cas où $V$ est quadratique et le noyau de Green
s'exprime explicitement en termes de fonctions d'Hermite, 
s'étend à un potentiel quelconque.

2.  Pour $N$ fixé, des calculs nous ont permis de montrer l'existence de contraintes de type Virasoro pour une fonctionnelle sur l'espace des trajectoires construite à l'aide d'une perturbation du potentiel sur
le modèle des travaux de Adler-Van Moerbeke.Ces contraintes forment une algèbre contenant l'algèbre de Schr\"odinger-Virasoro, mais cette algèbre
s'étend de manière naturelle dans ce contexte à une algèbre dite
noise-preserving permettant notamment des transformations conformes quelconques dépendantes du temps.
 Nous avons montré comment réaliser les contraintes de Schrödinger-Virasoro à l'aide d'opérateurs bosoniques dépendant du temps dans un formalisme de théorie des champs
conformes. Nous conjecturons
que toute l'algèbre "noise-preserving" peut être réalisée de manière analogue, ce qui impliquerait la possibilité d'obtenir une structure déterminantale
des corrélations temporelles pour V quelconque. A leur tour
ces "loop transformations" dépendant dutemps pourraient se révéler utiles pour démontrer des résultats d'universalité
comme dans 1.


La transformation dite de ground-state donne une transformation explicite entre hamiltoniens de problèmes à N corps intégrables 1D
(hamiltonien de Calogero-Sutherland), ou hamiltoniens de chaînes de spins intégrables 1D (modèles XX, XXZ) d'un côté, et générateurs
du mouvement brownien de Dyson, ou de systèmes stochastiques de particules en interaction de l'autre.  

Cette correspondance, mise en lumière par H. Spohn en 1999 pour un système homogène (Calogero-Sutherland ou modèle XX) et dans la
limite de faible densité, est l'objet d'une étude systématique en cours.
Les résultats doivent pouvoir s'étendre au cas de la chaîne
XXZ ou de maniére générale aux systèmes quantiques intégrables 1D, en utilisant comme input la limite thermodynamique des fonctions
de corrélation statiques à l'équilibre, calculée via l'Ansatz de Bethe (cf. travaux de Bogolioubov,
Kitanine, Korepin, Maillet, Terras...).




PREPRINTS


Dynamical invariance for random matrices. http://arxiv.org/abs/1603.09373

Global fluctuations for log-gas dynamics,
http://arXiv.org/abs/1607.00760




EDP, EDPS et renormalisation

Les techniques constructives de la théorie des champs, utilisées avec succès dans le cadre de la théorie
quantique euclidienne (i.e. obtenue par prolongement analytique vers un temps imaginaire) des champs,
ainsi que dans l'étude des fermions en interaction à l'équilibre, sont sous-exploitées à l'heure actuelle
pour l'étude de nombre de problèmes fondamentaux de physique quantique ou classique, notamment
en ce qui concerne les problèmes d'évolution en temps réel, rattachés à l'étude d'équations aux
dérivées partielles paraboliques ou hyperboliques avec un bruit.

Nous présentons ci-dessous un certain nombre de problèmes fondamentaux de la physique mathématique,
formulés en termes d'équations de Schrödinger, d'edps ou de systèmes de particules en interaction,
auxquels nous nous confrontons actuellement avec l'aide de ces techniques.



Physique quantique



Etude constructive de la théorie des particules élémentaires sur des espaces lorentziens

La théorie constructive  est depuis toujours  écrite en euclidien; les propagateurs  sont alors
singuliers  dans  la limite infra-rouge ou ultra-violette (pour les particules élémentaires), ou sur une
surface ou sphère de Fermi (en physique du solide); le support de la singularité est donc   "ponctuel"
ou compact. Au contraire, en lorentzien, les opérateurs sous-jacents (Klein-Gordon par exemple) sont
hyperboliques, et  les propagateurs sont singuliers sur les hyperboloïdes de masse, qui sont des hyper-
surfaces non compactes. L'étude multi-échelles de ces opérateurs a été réalisée par Candès-Donoho-
Demanet à l'aide d'objets directionnels généralisant les  ondelettes et appelés curvelets, qu'on peut
étendre en Minkowski curvelets.  Nous étudions actuellement un  "toy model" bosonique classique en
théorie des champs ($\phi^4$ avec cut-off infra-rouge) en dimension 4, représentatif des difficultés du
problème (et relevant pour l'étude du boson de Higgs).

La question de savoir si ces découpages peuvent se réaliser sur des variétés lorentziennes plus générales
est ouverte. On peut prédire que la réponse dépend de la structure géométrique à l'infini de la variété, et
du comportement des solutions  de l'équation de Klein-Gordon. Une interaction avec des spécialistes de la
relativité générale serait très profitable.

Le même genre d'outils, appliqué au modèle $phi^4$ à température finie - réécrit en termes d'une théorie
lagrangienne grâce a
u formalisme dit de Keldysh - pourrait permettre à terme d'établir la loi de Fourier,
sujet de nombreuses investigations récentes (cf. articles de Bernardin-Olla, Eckmann, Hairer, Spohn,

Bricmont-Kupiainen...).



Sur ce sujet, on pourra lire le preprint
Minkowski curvelets and wave equations.  http://arxiv.org/abs/1204.2688





Etude constructive de la transition de phase supraconductrice

Les travaux de Magnen-Rivasseau-Feldman-Trubowitz et al. sur le modèle BCS (supraconducteurs basse
température) ont montré dans les années 90 comment comprendre  l'apparition du gap d'énergie $\Del$
caractéristique de la supraconductivité, en partant du modèle du jellium. Seules les premières étapes d'une
renormalisation constructive de ce modèle ont été réalisées. Un développement en $1/N$, $N$=nombre de
secteurs sur la sphère de Fermi (divergeant exponentiellement dans l'infra-rouge) devrait permettre de faire
apparaître la transition de phase et de construire le modèle à toute température. Les idées sont présentes en
germe dans ces articles, mais n'ont jamais été poussées jusqu'au bout. Il s'agirait du premier modèle non
intégrable avec transition de phase étudié intégralement par des méthodes rigoureuses de théorie des champs.

La première étape du programme est la construction du modèle sigma-linéaire basse température en dimension
deux ou trois.



Problèmes paraboliques


Le  formalisme dit de réponse ou de Martin-Siggia-Rose (correspondant à ce qu'on appellerait une transformation de Girsanov formelle en dimension infinie en probabilités)
est un formalisme bien connu par les experts de la théorie des champs (perturbative), permettant de réécrire des équations aux dérivées partielles stochastiques dirigées par
un bruit gaussien sous forme lagrangienne. Il décrit très bien le comportement perturbatif à grande échelle des équations sous-critiques et donne des prédictions dans le voisinage
de la criticalité. Une étude rigoureuse a été menée sur l'exemple de l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) en dimension >=3 avec cut-off ultra-violet. L'étude perturbative
du groupe de renormalisation prédit que le terme non-linéaire est non pertinent dans la limite de grande échelle avec scaling parabolique, et donc que la solution se comporte
asymptotiquement comme une équation de la chaleur stochastique. Les calculs montrent que le formalisme de réponse, adapté aux perturbations de mesures gaussiennes, 
ne permet pas d'aborder la question de la stabilité de la dynamique. Lorsque la non-linéarité gradient est quadratique, l'exponentielle de la solution s'identifie à la fonction
de partition des polymères dirigés, et des outils spécifiques, reposant sur l'étude de perturbations singulières de résolvantes, permettent de conclure. Dans le cas général,
les bornes reposent sur un mélange de bornes analytiques dérivées du principe du maximum/de comparaison/d'une représentation à la Hamilton-Jacobi-Bellman, établies
pour des espaces fonctionnels nouveaux définis par des semi-normes "localisées", et de découpages en échelles inspirés de la théorie constructive des champs, mais
adaptés au cas des EDP paraboliques afin de préserver le principe du maximum.


Les mêmes méthodes doivent permettre également d'étudier des  limites ultra-violettes pour des EDP singulières asymptotiquement libres, notamment en dimension critique,
donc au-delà des résultats établis en dimension sous-critique par Hairer, Gubinelli, ... ces dernières années; en l'occurrence, l'équation de KPZ en dimension d'espace critique
 d=2, pour laquelle le flot de la constante de couplage est trivial en raison d'une identité de Ward liée à l'invariance galiléenne.

Notre méthode devrait s'adapter sans difficulté particulière à l'étude de nombreux problèmes de perturbations sans gap spectral, tout du moins si l'on part de leur limite mésoscopique écrite directement sous
forme d'EDP stochastique, par exemple à l'étude des NESS (non-equilibrium steady states) obtenus comme mesure stationnaire de systèmes de particules en interaction avec paramètre
conservé dirigés par un champ faible, ainsi qu'à celle de leur hydrodynamique et des questions classiques comme l'établissement de la relation de fluctuation-dissipation, des grandes déviations...
Un autre projet très intéressant consisterait à "démontrer" l'universalité de KPZ en dimension 1, suivant les travaux de Corwin, Quastel, Spohn...


Un autre  problème très significatif est celui de l'équation d'Allen-Cahn, donnant le comportement d'un système de spins unidimensionnels trempés brutalement à basse température à partir d'une température
 supérieure
à la température critique. Le bruit essentiel est alors dans les conditions initiales, qu'on peut supposer aléatoires, avec une corrélation à faible distance. Le régime de croissance des interfaces entre
 les domaines
où le spin est positif et ceux où il est négatif a été étudié par de très nombreux auteurs, physiciens ou mathématiciens (De Masi, Presutti, Giacomin, Evans-Soner-Souganidis, Caputo-Martinelli-
Simenhaus-Toninelli,
Bray, Mazenko, Cugliandolo...), en lien avec le flot de courbure moyenne. La difficulté supplémentaire, de taille,est ici dans la condition initiale désordonnée qu'on peut espérer traiter
 avec un mélange de techniques
probabilistes et de théorie des champs.


PREPRINTS

Diffusive limit for 3-dimensional KPZ equation.

(I) PDE estimates for multi-dimensional KPZ equation, http://arxiv.org/abs/1307.1980
(II) Generalized PDE estimates for KPZ equation through Hamilton-Jacobi
        formalism,
  http://arxiv.org/abs/1312.5293
(III) Diffusive limit for 3-dimensional KPZ equation. The Cole-Hopf case,
http://arxiv.org/abs/1702.03122
(IV)
Diffusive limit for 3-dimensional KPZ equation. The general case (en préparation).

Parallèlement à ces bornes, nous avons développé avec des techniques comparables (reposant sur l'étude de
caractéristiques aléatoires) une série d'études sur l'équation de Burgers visqueuse.

Global existence for strong solutions of viscous Burgers equation.
(I) The bounded case,
http://arxiv.org/abs/1503.05145

(II) The unbounded case: a characteristic flow study, http://arxiv.org/abs/1510.01539














Groupe de travail math/phys



  Je codirige avec M. Henkel, du Laboratoire de Physique des Matériaux de Nancy (LPM), un groupe de travail "Physique et Mathématiques" depuis juin 2000, destiné à promouvoir les échanges entre mathématiciens et physiciens sur un certain nombre de sujets touchant aux deux disciplines (théorie des champs, systèmes intégrables, algèbres de Lie de dimension infinie...), et, si possible, à susciter des travaux en collaboration.

En 2003, ce groupe de travail a travaillé en symbiose avec un groupe de travail "Arbres et combinatoire" de l'équipe de probabilités de l'Institut Elie Cartan sur les processus SLE (Stochastic Loewner Equation) et leurs applications en théorie conforme des champs, les deux groupes de travail alternant une semaine sur deux. 

Le groupe de travail marque une pause prolongée depuis quelques années (due essentiellement au manque de
temps des principaux protagonistes), mais les archives sont toujours disponibles.
 
 


Groupe de travail physique et mathématiques (archives)