Institut Elie Cartan de Lorraine
Institut Jean Lamour

Université de Lorraine

Groupe de travail Mathématiques-Physique Théorique 2014-2015

Contacts

Mathematiques:
Physique:

Horaire et lieux

Les vendredis de 14h à 16h en Salle de seminaire de physique statistique, (Faculté des Sciences et Techniques), Nancy, entree 2A, 6e.

Programme



Résumé de l'exposé de Bruno Premoselli: Le choix d'une constante cosmologique strictement positive dans les équations d'Einstein de la Relativité Générale permet de fournir une explication simple du phénomène d'expansion accélérée de l'univers. Dans cet exposé nous aborderons les équations d'Einstein sous un autre point de vue et nous proposons d'étudier quelques conséquences du choix d'une constante cosmologique strictement positive dans le problème initial. Nous étudierons une formulation conforme des équations de contraintes dont la résolution fournit des données initiales pour le problème d'évolution. Après quelques rappels généraux nous décrirons, dans le cas d'une constante cosmologique strictement positive, deux phénomènes surprenants qui ne possèdent aucune contrepartie si la constante cosmologique est supposée nulle (hypothèse courante en Relativité Générale mathématique). En premier lieu nous montrerons l'existence d'une valeur-seuil au-del de laquelle les équations de contraintes ne possèdent aucune solution, et en-de de laquelle les données initiales apparaissent toujours par paires. Ensuite, et ce qui constitue le fait le plus marquant, nous observerons un changement des propriétés de stabilité des équations de contraintes en fonction des contextes physique et géométrique. La dichotomie est la suivante: ou bien l'ensemble de toutes les données initiales est "raisonnable", c'est--dire qu'il est compact et dépend continment en le choix des paramètres physiques, ou bien il existe des (suites de) jeux de données initiales qui explosent ponctuellement. Ces données initiales explosives ont notamment pour terrible conséquence d'engendrer des suites d'espace-temps développant des singularités en temps fini arbitrairement petit!

Références bibliographiques

  • A.Besse "Einstein manifolds", Springer. Une étude approfondie des variétés possédant une métrique d'Einstein. Des motivations pour l'étude de ces variétés est donnée en introduction.
  • E.Hebey "Introduction à l'analyse non-linéaire sur les variéés", Diderot. Une présentation de la géometrie Riemannienne dans l'idée de faire de l'analyse dessus. Ouvrage hélas épuisé.
  • E.Hebey "Nonlinear Analysis on Manifolds: Sobolev Spaces and Inequalities", AMS. Monographie de recherche facilement trouvable. Le chapitre 1 donne les éléments de base à connaitre pour faire de l'analyse sur les variétés.
  • M. Kiessling "Statistical mechanics approach to some problems in conformal geometry", Physica A, 279, (2000), 353-368. Un article dans lequel l'auteur fait un lien entre la mécanique statistique et les EDP issues de la géométrie conforme.
  • J.Lee and T.Parker "The Yamabe problem", Bulletin of the AMS, volume 17, Number 1, 1987. C'est le "survey" historique sur le problème de Yamabe, dont la résolution finale utilise le théorème de la masse positive. On y trouve des préliminaires en géométrie et en analyse, ainsi que le lien entre la "masse" des physiciens et celle des mathématiciens.
  • B.Premoselli "Stability and Instability of the Einstein-Lichnerowicz constraint system", preprint. Article récent dans lequel l'auteur montre des conditions de stabilité des équations de contraintes d'Einstein en relativité générale, avec constante cosmologique positive. Ceci donne des résultats de stabilité de l'univers en présence de masse. Les autres articles de l'auteur sur le sujet sont sur sa page web.