Séminaire de Géométrie et Quantification




Frédéric Hélein
(Paris Paris Diderot)


Cristallisation de connexions et de fibrés liquides



Résumé : Je présenterai des formulations variationnelles nouvelles de théories de
jauge dans lesquelles l'espace de configuration est un ensemble de champs définis sur
l'espace total du fibré principal en jeu, donc dépendant à la fois des variables d'espace-temps
et de variables paramétrisant le groupe de structure.
Pour une théorie de Yang-Mills, cela revient à partir de connexions d'Ehresmann non
équivariantes. Pour une théorie de gravitation (un travail en collaboration avec Dimitri Vey),
cela revient à partir de formes à valeurs dans une algèbre de Lie définies sur une variété vierge,
au sens où aucune structure n'y est définie
a priori.
Les équations d'Euler-Lagrange font apparaître des contraintes qui forcent l'apparition
d'une fibration spontanée pour la gravitation et d'une connexion équivariante dans tous
les cas. Un mécanisme supplémentaire fait que, si le groupe de structure est
compact, les champs de jauge ainsi obtenus sont solutions des équations
de Yang-Mills ou d'Einstein.

.





Michel Dubois-Violette
(Université Paris-Sud)


Géométrie quantique exceptionnelle et physique des particules


Basée sur une interprétation de la symétrie quark-lepton en terme de l’unimodularité du groupe de couleurs SU(3) et sur l’existence de 3 générations, nous développons une analyse suggérant que l’ « espace quantique fini » correspondant à l’algèbre de Jordan exceptionnelle (l’algèbre euclidienne d’Albert) joue un rôle dans la description des espaces internes en théorie des particules.

Plus généralement, nous suggérons que le remplacement de l’algèbre des fonctions réelles sur l’espace-temps par l’algèbre des fonctions réelles sur l’espace-temps à valeurs dans une algèbre de Jordan euclidienne de dimension finie est potentiellement intéressante en physique des particules. Cela nous conduit à étudier la théorie des modules de Jordan et à développer le calcul différentiel sur les algèbre de Jordan. Nous formulons la définition correspondante des connexions sur les modules de Jordan.



Mathieu Stiénon
(Penn State University)


Théorème de Kontsevich--Duflo pour les paires de Lie



Résumé
: Le théorème de Kontsevich--Duflo affirme que, pour toute variété complexe $X$,
l'application de Hochschild--Kostant--Rosenberg tordue par la racine carrée de la classe de Todd
du fibré tangent à $X$ est un isomorphisme d'algèbres associatives de la cohomologie de faisceau
$H^{\bullet}(X,\wedge T_X)$ sur la cohomologie de Hochschild $HH^{\bullet}(X)$.
Nous montrerons que le théorème de Kontsevich--Duflo s'étend au delà du cadre restreint des variétés complexes à une très large gamme de situations géométriques descriptibles en termes d'algébroïdes de Lie et incluant feuilletages et actions d'un groupe de Lie sur une variété.
Une paire de Lie $(L,A)$ est la donnée d'un sous-algébroïde $A$ d'un algébroïde de Lie $L$. À toute paire de Lie sont associées deux algèbres de Gerstenhaber qui jouent un rôle semblable aux espaces de champs de polyvecteurs et d'opérateurs polydifférentiels. L'application de Hochschild--Kostant--Rosenberg tordue par la racine carrée de la classe de Todd de la paire de Lie réalise un isomorphisme entre ces deux algèbres de Gerstenhaber.





Page principale