Institut Élie Cartan de Lorraine





PAGE D'ACCUEIL DE L'IECL

Séminaire EDP, Analyse et Applications - site de Metz

Responsable : Julien Lequeurre


  • vendredi 07 avril 2017, 11:00-12:00, Salle A122, IECL Site de Metz,
    Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia , ENSTA : "Singularités de coins pour les problèmes de transmission avec changement de signe" (résumé)
    On considère des matériaux électromagnétiques qui sont tels que, dans une certaine gamme de fréquences, la permittivité diélectrique a une partie imaginaire faible et une partie réelle négative. Ceci se produit par exemple dans les métaux tels que l'argent, aux fréquences optiques. Pour de tels matériaux, les coins sont le lieu de phénomènes singuliers très surprenants. En particulier, une partie de l'énergie des ondes peut être capturée par le coin, donnant lieu à un phénomène dit de trou noir. Dans cette présentation, nous proposons une analyse mathématique de ce phénomène dans le cas bidimensionnel, reposant sur une description détaillée des singularités de coins pour l'équation de Helmholtz avec des coefficients changeant de signe. Nous montrons que ces équations peuvent être mal posées dans le cadre fonctionnel usuel, puis nous proposons et justifions un nouveau cadre, incluant des fonctions singulières hyper-oscillantes, dans lequel le caractère bien posé peut être rétabli. Sur le plan numérique, nous nous intéressons à l'approximation de la solution par éléments finis. Dans les configurations sans phénomène de trou noir, nous montrons qu'il suffit d’imposer certaines règles de maillage au voisinage des coins pour assurer la convergence de la méthode. En revanche, ceci n'est pas suffisant en présence d'ondes de trou noir hyper-oscillantes. La solution que nous avons trouvée est alors d'utiliser des PML (Perfectly Matched Layers) au voisinage des coins. Ces approches sont validées par différents résultats numériques.
  • vendredi 10 mars 2017, 11:00-12:00, Salle A122, IECL Site de Metz,
    Matthieu Léautaud, Institut de Mathématiques de Jussieu (Université Paris-Diderot) : "Prolongement unique et contrôle approché de l'équation des ondes" (résumé)
    On s'intéresse à la question de prolongement unique suivante : l'observation de l'intensité d'une onde sur un petit sous-domaine pendant un intervalle de temps détermine t-elle l'énergie totale de l'onde ? Résolu dans un cadre analytique par le célèbre théorème de Holmgren-John (1949), ce problème resta ouvert dans le cadre général jusqu'aux travaux de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander (1995-1998). Dans cet exposé, on donnera l'estimée de stabilité optimale associée à ces résultats. Ce faisant, on répondra aussi à la question suivante : quelle est l'intensité de l'onde que l'on perçoit dans l'ombre d'un obstacle ? On en déduira enfin le coût de la contrôlabilité approchée de l'équation des ondes, c'est à dire, la taille d'un contrôle qui, agissant localement sur l'onde, peut amener l'état dans un epsilon voisinage d'une cible fixée. Il s'agit un travail en collaboration avec Camille Laurent.
  • vendredi 03 mars 2017, 11:00-12:00, Salle A122, IECL Site de Metz,
    Jérôme Vétois, McGill University : "Estimations a priori et symétrie pour des systèmes elliptiques dans $R^n$" (résumé)
    Dans cet exposé, nous étudierons une classe de systèmes d'équations de Schrödinger couplées dans $R^n$ tout entier. Je discuterai une notion de solutions d'énergie finie pour ces systèmes et je présenterai des résultats d'estimation a priori et de symétrie sur ces solutions.
  • vendredi 17 février 2017, 11:00-12:00, Salle A122, IECL Site de Metz,
    Vincent Andrieu, LAGEP, Univ. de Lyon : "Regulation by integral controller for quasi-linear hyperbolic PDE" (résumé)
    This talk deals with the control and regulation by integral controllers for the nonlinear systems governed by scalar quasi-linear hyperbolic partial differential equations. Both the control input and the measured output are located on the boundary. The closed-loop stabilization of the linearized model with the designed integral controller is proved first by using the method of spectral analysis and then by the Lyapunov direct method. Based on the elaborated Lyapunov function we prove local exponential stability of the nonlinear closed-loop system with the same controller. The output regulation to the set-point with zero static error by the integral controller is shown upon the nonlinear system.
  • vendredi 10 février 2017, 11:00-12:00, Salle A122, IECL Site de Metz,
    Zakaria Belhachmi, Université de Haute Alsace : "" (résumé)
    Le problème de la restauration/complétion d'images (images inpainting) est un problème classique d'analyse et traitement d'images. Il consiste à  chercher à  restaurer une image dont une partie est endommagée ou perdue de manière "raisonnable" et "satisfaisante". Il existe une multitude de méhodes pour répondre au problème, parmi lesquelles, les méthodes variationnelles des EDPs qui ont rencontré un franc succès essentiellement dans la restauration de la géométrie (par opposition aux textures). Une difficulté centrale dans ce domaine et de restaurer des arêtes, des coins (ensembles singuliers) et de respecter les courbures. Difficulté qui ne peut s'exprimer qu'à l'aide de modèles (fortement) nonlinéaires. L'exposé traitera de ces méthodes basées sur les EDPs et montrera que des modèles simples (linéaires) construits de manière adaptative permettent de traiter cette difficulté et d'obtenir, au sens de la Gamma-convergence, des modèles sophistiqués "mesurant" ces ensembles singuliers.
ARCHIVES