Groupe de Travail de l'équipe “Probabilités & Statistiques de l'Institut Élie Cartan (Nancy)
6 novembre 2014 : Aline Kurtzmann
Second théorème de Ray-Knight & Lien avec les processus de saut renforcés

On se place sur un graphe (non orienté, sans boucle) fini connexe. Nous allons voir une démonstration du second théorème de Ray-Knight [1] (dans sa version discrète) à l'aide d'une martingale, martingale qui est en fait la dérivée de Radon-Nikodym de la mesure d'un processus de saut renforcé (avec changement de temps) par rapport au processus markovien associé.

[1] Pour (Xt)t un processus de saut markovien (à temps continu) réversible sur un graphe, notant lx(t) le temps local en x au temps t (qui, dans un cadre à espace discret, désigne tout simplement le temps total passé par le processus au nœud x au cours de l'intervalle de temps [0,t]), et appelant σ(u) le premier instant t auquel lx0(t) atteint la valeur u (x0 étant le point de départ de notre processus), le second théorème de Ray-Knight décrit la loi du processus spatial (lx(σ(u)))x. Cette loi est assez compliquée à décrire ; l'exposé en précisera l'expression. À noter que dans le cas continu où (Xt)t est remplacé par un mouvement brownien sur R issu de 0 (la notion de temps local devant alors s'entendre au sens des processus continus en espace), la loi de (lx(σ(u)))x devient plus simple à décrire : le second théorème de Ray-Knight énonce alors en effet que (lx(σ(u)))x est le carré d'un processus de Bessel de dimension 0 (avec la condition initiale l0(σ(u)) = u).