Groupe de Travail de l'équipe “Probabilités & Statistiques de l'Institut Élie Cartan (Nancy)
17 avril 2014 : Olivier Garet
Quelques propriétés des lois zêta

Un résultat élémentaire bien connu de théorie des nombres est le suivant : si on prend, de manière indépendante, deux nombres choisis uniformément entre 1 et n, alors, la probabilité que ces deux nombres soient premiers entre eux tend vers 6/π2 quand n → ∞. Un résultat analogue un peu moins connu est que la probabilité qu'un nombre choisi uniformément entre 1 et n soit sans carré (c'est à dire ne soit divisible par le carré d'aucun entier différent de 1) possède la même limite.

Voici deux résultats d'essence probabiliste qui, pourtant, n'appartiennent pas à la littérature classique en probabilités. Ils sont en revanche bien connus en théorie analytique des nombres ; et dans ce contexte, les preuves proposées ont une présentation peu probabiliste. Dans notre exposé nous allons ramener ces résultats dans un cadre probabiliste, notamment à l'aide des lois zêta, qui sont des lois très simples dotées de jolies propriétés arithmétiques : pour s > 1, la loi zêta d'indice s est la loi de probabilité sur N* telle que P({n}) = n-s/ζ(s), où ζ désigne la fonction zêta de Riemann.