Groupe de Travail de l'équipe “Probabilités & Statistiques de l'Institut Élie Cartan (Nancy)
12 décembre 2013 : Marco Dozzi
Modèles mixtes & Variations d'ordre supérieur

Le but de l’exposé est d’étudier les processus appelés « modèles mixtes », c’est-à-dire les combinaisons linéaires Mt := a Bt + b BHt [a, b ∈ R, t ≥ 0] d’un mouvement brownien B et d’un brownien fractionnaire BH indépendant de B [0 < H < 1].

L’approximation de BH par une semimartingale, et la décomposition de cette approximation en partie martingale et partie à variation finie, montre que BH joue essentiellement le rôle d’un “drift” et très peu celui d’une diffusion, ce dernier rôle revenant donc principalement à la partie brownienne B de M.

Un résultat Patrick Cheridito, surprenant à première vue, dit que le processus M est localement équivalent en loi à un brownien si H > 3/4. Ce résultat montre en particulier qu’on ne peut pas espérer obtenir d'estimateur fortement consistant de H si H se trouve dans (3/4, 1).

Si le temps le permet, nous étudierons les variations d’ordre supérieur de M, qu’on obtient à l’aide de celles de BH. Ces résultats permettent en particulier d’obtenir, à partir de l’observation de M, des estimateurs de H ∈ (0, 3/4) fortement consistants et asymptotiquement de loi normale.