Groupe de travail de l'équipe “Probabilités & Statistiques” de l'Institut Élie Cartan (Nancy)
13 octobre 2013 : Ivan Nourdin
Quand le théorème du moment quatrième est-il valable ?

Soit (Fn)n une suite de variables aléatoires ayant la forme d'une forme multilinéaire en des variables indépendantes et de même loi ; plus précisément, supposons que
,
où :

  1. d ≥ 1 est un entier fixé (le même pour tous les n) ;
  2. X1, X2, … est une suite de variables i.i.d. centrées réduites ;
  3. Pour chaque n, la fonction fn: {1, …, n}dR est symétrique, nulle sur les hyperdiagonales, et normalisée de sorte que E[Fn2] = 1.

Définition. On dit que la loi de X1 vérifie le théorème du moment quatrième quand l'équivalence suivante a lieu : FnN(0,1) (en loi) si et seulement si E[Fn4] → 3.

Le but de cet exposé sera d'essayer d'exhiber des conditions nécessaires et/ou suffisantes sur la loi de X1 qui pour que celle-ci vérifie le théorème du moment quatrième.