Groupe de travail de l'équipe “Probabilités & Statistiques” de l'Institut Élie Cartan (Nancy)
21 mars 2013 : Aurélie Muller-Gueudin
Introduction à la théorie des valeurs extrêmes

Cette séance introduit la théorie probabiliste des valeurs extrêmes. Dans une première partie, nous voyons comment modéliser les extrêmes d'une variable aléatoire X de fonction de répartition F. Nous pouvons considérer

Fisher-Tippett (1928) ont montré que la loi du maximum Mn, correctement renormalisé, converge lorsque n → +∞ vers une loi des valeurs extrêmes, appelée loi GEV (generalized extreme value distribution). De même, Pickands (1975) a montré que la loi des dépassements de seuil u converge lorsque u → x := inf{x: F(x)=1} vers une loi GPD (generalized Pareto distribution).

Chacune de ces lois (GEV ou GPD) est paramétrée par γ=γF, qui est l'indice des valeurs extrêmes. Ce paramètre joue un rôle très important pour caractériser la queue de distribution de F.

Dans une deuxième partie, nous voyons comment modéliser les extrêmes d'une suite bivariée i.i.d. (X1,Y1), ..., (Xn,Yn). Nous présentons alors un résultat sur le comportement en loi du couple formé du maximum de (Xi)1≤i≤n et du maximum de (Yi)1≤i≤n. Nous introduisons alors les lois extrêmes bivariées.