2e colloque interne de l'équipe “Probabilités & Statistiques” de l'Institut Élie Cartan — 5 décembre 2013
Ivan Nourdin

Formules de type Itô pour le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien

Soit X un mouvement brownien fractionnaire d'indice de Hurst H et soit Y un mouvement brownien standard indépendant de X ; le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien (d'indice H) est, par définition, le processus Zt := X(Yt). Ce processus est continu, non gaussien, autosimilaire d'indice H/2, à accroissements stationnaires. Dans cet exposé, basé sur un travail en collaboration avec Raghid Zeineddine, je présenterai une formule de type Itô pour f(Zt), quand f: RR est régulière et que H est dans l'intervalle [1/6, 1). Quand H > 1/6, la formule de changement de variable obtenue est la même que celle du mouvement brownien pour l'intégrale de Stratonovich. Par contre, dans le cas critique où H = 1/6, notre formule de changement de variable est une formule en loi, et fait apparaître un terme de crochet qui s'exprime à l'aide de la dérivée troisième de f et d'un mouvement brownien W indépendant du couple (X,Y). Nous discuterons aussi rapidement le cas où H < 1/6.