Université de Lorraine
IECL
CNRS
Région Lorraine

L'équipe se réunit le jeudi à 14h30 en salle Döblin (salle de séminaire du 4ème étage), IECL, Nancy. Le séminaire (habituellement de 14h30 à 15h30) comporte des exposés sur divers sujets concernant la théorie des nombres. Pour venir à l'IECL, c'est ici (http://www.iecl.univ-lorraine.fr/VenirIECL/venirIECLnancy.html).


Les séminaires passés de l'année universitaire 2016/17 :

15 juin 2017 à 14h30
Julien Cassaigne
(Institut de Mathématiques de Marseille)

Éviter les cubes additifs

Pirillo et Varricchio ont posé en 1994 la question suivante : existe-t-il une suite d'entiers bornée telle que deux blocs consécutifs de même longueur n'aient jamais la même somme ? Ce problème fait partie des problèmes d'évitabilité de motifs dans les mots infinis, le motif à éviter étant ici appelé carré additif. Il est encore ouvert à ce jour.
Nous considérons dans cet exposé le cas des cubes additifs, c'est à dire du motif formé non pas de deux mais de trois blocs consécutifs de même longueur et de même somme. Nous montrons au moyen d'une construction explicite qu'il est évitable sur un alphabet à 4 éléments. Nous nous demandons ensuite dans quelle mesure une construction similaire serait possible pour les carrés additifs (dans l'hypothèse où la réponse à la question de Pirillo et Varricchio serait positive).
Travail en collaboration avec J. Currie, L. Schaeffer et J. Shallit. J. ACM 61 (2014) no. 2 art. 10.
http://arxiv.org/abs/1106.5204


8 juin 2017 à 14h30
Aurel Page
(Université de Warwick), Séminaire commun LORIA et IECL

Peut-on énumérer algorithmiquement toutes les fonctions $L$ ?

J'expliquerai ce qu'est une fonction $L$ et je donnerai un aperçu de leur rôle en théorie des nombres. Puis je décrirai une construction qui permet conjecturalement d'obtenir toutes les fonctions $L$, à partir de variétés arithmétiques. Je présenterai un algorithme permettant de calculer de telles fonctions $L$ dans certains cas. Il s'agit d'un travail en commun avec Michael Lipnowski.


1 juin 2017 à 14h30
Verónica Becher
(Universidad de Buenos Aires)

Normality together with other properties

Let $b$ be an integer greater than or equal to $2$. A real number is called simply normal to base $b$ if each digit $0,\ldots ,b-1$ occurs in its $b$-ary expansion with the same frequency $1/b$. It is called normal to base $b$ if it is simply normal to every base $b^k$, for $k=1,2,\ldots,$ and it is called absolutely normal if it is normal to every integer base $b$. Borel proved that almost all real numbers, in the sense of the Lebesgue measure, are absolutely normal and he conjectured that the irrational algebraic numbers are absolutely normal. So far, no algebraic irrational has been proved nor disproved to be normal to any base. All known examples of absolutely normal numbers are obtained by constructions specifically made to comply the definition. These constructions were extended to obtain normality together with some other property having Lebesgue measure 1, such as continued fraction normality, normality to Pisot bases, or irrationality exponent equal to 2. For a few properties having Lebesgue measure 0, a construction is known that gives a normal number with this property, such as the construction of a number normal to all bases except to powers of 3, or the construction of an absolutely normal Liouville number.


18 mai 2017 à 14h30
Zhiwei Wang
(IECL)

Sur les plus grands facteurs premiers d'entiers consécutifs

Désignons $P^+(n)$ le plus grand facteur premier d'un entier $n$ et $P_y^+(n)$ le plus grand facteur premier de $n$ inférieur à $y$. Dans cet exposé, nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers $n$ tels que $P^+(n-1) > P^+(n) < P^+(n+1)$ et $P^+(n-1) < P^+(n) > P^+(n+1)$. En utilisant les méthodes analogues, nous démontrons que les deux configurations $P^+(n+j_0)= \min\limits_{0\leqslant j\leqslant J-1} P^+(n+j)$ et $P^+(n+j_0)= \max\limits_{0\leqslant j\leqslant J-1} P^+(n+j)$ ont lieu respectivement pour une proportion positive d'entiers $n$. Puis nous démontrons qu'il existe une proportion positive d'entiers $n$ tels que $P_y^+(n) < P_y^+(n+1)$ pour $y=x^{\theta}$ avec $0<\theta\leqslant 1$. En particulier, on montre que la proportion d'entiers $n$ tels que $P^+(n) < P^+(n+1)$ est plus grand que 0.1356.


11 mai 2017 à 14h30
Huarong Qin
(Nanjing Université)

Congruent numbers and ternary quadratic forms

A positive integer is called a congruent number if it is the area of a right-angled triangle, all of whose sides have rational length. A celebrated theorem due to Tunnell gives a criterion for a positive integer to be congruent (under the BSD). We show that if a square-free and odd (respectively, even) positive integer $n$ is a congruent number, then $$\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|n=x^2+2y^2+32z^2\}=\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|n=2x^2+4y^2+9z^2-4yz\},$$ respectively, $$\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|\frac{n}{2}=x^2+4y^2+32z^2\}=\#\{(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3|\frac{n}{2}=4x^2+4y^2+9z^2-4yz\}.$$ If we assume that the weak Birch-Swinnerton-Dyer conjecture is true for the elliptic curves $E_{n}:y^2=x^3-n^2x$, then, conversely, these equalities imply that $n$ is a congruent number. We shall also discuss some applications.


11 mai 2017 à 15h45
Youness Lamzouri
(York University, Toronto)

Sur les sommes courtes des coefficients de Fourier de formes modulaires

Soit $f$ une forme primitive de poids $k$ sur $SL_2(\mathbb{Z})$, et soit $\{\lambda_f(n)\}_{n\geq 1}$ la suite de ses coefficients de Fourier (normalisés). Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l'ordre de grandeur de la somme $S_f(x)=\sum_{n\leq x} \lambda_f(n)$ (où $x$ varie en fonction de $k$), ainsi qu'à sa relation avec la taille du premier coefficient de Fourier négatif de $f$. Notre approche consiste à introduire un modèle probabiliste pour $S_f(x)$, et à comparer cette somme avec la moyenne de la fonction $\tau$ sur les entiers friables, où $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs de $n$.


27 avril 2017 à 14h30
Olivier Robert
(Université Jean Monnet)

Intersection d'une forme diagonale et d'un hyperplan : points rationnels et solutions $p$-adiques

Dans cet exposé, nous nous intéressons à l'intersection d'une forme diagonale de degré $k\ge 3$ et d'une hyperplan à coefficients entiers. Dans une première partie, nous établissons une formule asymptotique pour le nombre $N(X)$ des points entiers de hauteur au plus $X$ sur cette intersection. Cette formule est établie à l'aide d'une version bi-dimensionnelle de la méthode du cercle. Nous rappellerons le principe général de la méthode avant d'introduire certains raffinements récents basés sur une technique due à Vaughan. Enfin, dans une deuxième partie, nous nous intéressons à l'existence de solutions $p$-adiques non triviales pour ce même système de formes diagonales, et nous prouvons une conjecture due à Artin pour ce système. La preuve relève cette fois de la combinatoire additive, et nous commencerons par rappeler les outils classiques dans le cas d'une forme diagonale. Tous ce résultats ont été obtenus en collaboration avec Jörg Brüdern (Göttingen)


6 avril 2017 à 14h30
Florian Luca
(University of the Witwatersrand, Johannesburg)

Variations on a problem of Romanov

Romanov proved that the set of numbers $\{p+2^n:~p~{\text{ prime}},~n\ge 1\}$ has positive lower density. We prove that this is the case as well for the sets $$ \{ p+2^{2^n}+m!:~p~{\text{ prime},~m,~n\ge 1}\}\quad {\text{ and}}\quad \{p+2^{2^n}+2^q:~p,~q~{\text{ primes}},~n\ge 1\}. $$ We also show that each of the above set misses an arithmetic progression of integers. This is joint work with C. Elsholtz and S. Planitzer.


30 mars 2017 à 14h30
Hu Yining
(Institut des Mathématiques de Jussieu)

Transcendence of $L(1,\chi_s)/\Pi$ and automata -- Implicit Function Theorem for Formal Power Series

First talk : For the field of formal Laurent series over a finite field, Carlitz defined $\Pi$, an analogue of the real number $\pi$, and Goss defined analogues of Dirichlet $L$ functions. Damamme proved the transcendence of $L(1,\chi_s)/\Pi$ using the criteria of de Mathan. We give a proof of the transcendence of $L(1,\chi_s)/\Pi$ based on the Theorem of Christol and another property of $k$-automatic sequences.


Second talk : We generalize a result of Furstenberg about the diagonal of bivariate rational fractions and algebraic series, and give a direct proof of the explicit implicit function theorem for formal power series that is valid for all fields, which implies in particular Lagrange inversion formula and Flajolet-Soria coefficient extraction formula known for fields of characteristic 0.


23 mars 2017 à 14h30
Oleksey Klurman
(University College London)

Correlations of multiplicative functions

We develop the asymptotic formulas for correlations \[ \sum_{n\le x}f_1(P_1(n))f_2(P_2(n))\cdot \dots \cdot f_m(P_m(n))\] where $f\dots,f_m$ are bounded ``pretentious" multiplicative functions, under certain natural hypotheses. We then deduce several desirable consequences: first, we characterize all multiplicative functions $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$ with bounded partial sums. This answers a question of Erdős from $1957$ in the form conjectured by Tao. Second, we show that if the average of the first divided difference of multiplicative function is zero, then either $f(n)=n^s$ for $\operatorname{Re}(s)<1$ or $|f(n)|$ is small on average. This settles an old conjecture of Kátai. In the second part, we discuss joint work with A, Mangerel on sign patterns of $(f(n),f(n+1),f(n+2))$ and $(f(n),f(n+1),f(n+2),f(n+3))$ where $f:\mathbb{N}\to \{-1,1\}$ is a given multiplicative function. If time permits, we discuss multidimensional version of some of the results mentioned above.


16 mars 2017 à 14h30
Daniel Fiorilli
(Université d'Ottawa)

Moments of arithmetical sequences

I will start with an introduction to equidistribution results for arithmetic sequences in progressions, of Bombieri-Vinogradov, Barban-Davenport-Halberstam and Bombieri-Fouvry-Friedlander-Iwaniec type. I will then discuss some of my recent results (with Greg Martin, and with Régis de la Bretèche) on the first two moments with usual and major arcs approximations.


9 mars 2017 à 14h30
Jie Wu
(IECL)

On the density of shifted primes with large prime factors

As usual, denote by $P(n)$ the largest prime factor of the integer $n\ge 1$ with the convention $P(1) = 1$. For $0<\theta<1$, define $$ T_{\theta}(x) := \big|\big\{p\le x\,:\, P(p-1)\ge p^{\theta}\big\}\big|. $$ In this paper, we obtain a new lower bound for $T_{\theta}(x)$ as $x\to\infty$, which improves some recent results of Luca-Menares-Madariaga (2015) and of Fengjuan Chen-Yonggao Chen (2016). As a corollary, we partially prove a conjecture of Chen-Chen about the size of $T_{\theta}(x)$.


2 mars 2017 à 14h30
Michel Balazard
(Institut de Mathématiques de Marseille)

Un déterminant arithmétique

L'exposé concernera le déterminant de taille $n$ dont le coefficient situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$ est l'inverse de la hauteur du nombre rationnel $i/j$, c'est-à-dire $(i,j)/\max(i,j)$. J'évoquerai notamment sa pertinence quant au critère de Báez-Duarte pour l'hypothèse de Riemann.


9 février 2017 à 14h30
Cécile Dartyge
(IECL)

Sur un phénomène de Turán relatif aux partitions des entiers.

Turán a montré que pour presque toutes paires de partitions d'un entier, la proportion des parts en commun est très élevée, supérieure à $1/2-\varepsilon$ avec $\varepsilon>0$ arbitrairement petit. Nous montrons que ce phénomène a toujours lieu si on se restreint aux parts dans une progression arithmétique. Il s'agit d'un travail réalisé avec Mihály Szalay.


2 février 2017 à 14h30
Igor Shparlinski
(University of New South Wales)

Billinear forms with Kloosterman sums

We obtain new bounds on bilinear sums with Kloosterman sums and also with some similar sums. In particular, we improve some recent bounds on such bilinear sums due to V. Blomer, E. Fouvry, E. Kowalski, Ph. Michel and G. Milicevic (2014-2016). As a result, we improve the error term in an asymptotic formula for mixed moments of $L$-series associated with Hecke eigenforms. We also discuss further extensions of this method (still in progress, jointly with Tianping Zhang and Kui Liu) which improve some recent results of R. Nunes (2016). Finally, we outline several possible arithmetic applications of these bounds.


26 janvier 2017 à 14h30
Jean-Marie De Koninck
(Université Laval de Québec)

Nouvelles approches dans la construction de nombres normaux

Après un bref aperçu des résultats classiques sur les nombres normaux, nous présenterons diverses approches permettant de construire de grandes familles de nombres normaux. Ainsi, nous verrons comment on peut tirer profit de la factorisation des entiers positifs pour créer des nombres normaux. Une autre manière de construire des nombres normaux proviendra de notre connaissance de la répartition des chiffres des nombres premiers; cela nous permettra entre autres de démontrer que le nombre $0,P(2)P(3)P(4)\ldots$, où $P(n)$ désigne le plus grand facteur premier de $n$, est un nombre normal, répondant ainsi à une question posée par Igor Shparlinski en 2010. Nous présenterons également le concept de « nombre normal robuste » et montrerons qu'une variété de nombres normaux ne sont pas robustes, et cela bien que l'on puisse démontrer que presque tous les nombres réels sont des nombres normaux robustes. Nous compléterons cette présentation en soulevant quelques problèmes ouverts. Ceci est un travail conjoint avec le Professeur Imre Kátai.


19 janvier 2017 à 14h30
Domingo Gómez-Pérez
(Université de Cantabria)

Families of Costas arrays, the autohit array and solutions to exponential equations

Echo localization is present in many devices and it is used in RADAR and SONAR. In this setting, a sequence is transmitted and the echoed version of the sequence provides information about the spatial location of surrounding objects. In real-world applications, many devices are working at the same time, so it is necessary that each of the devices transmits in a way that avoids interfering the others. One popular technique is to use frequency hope codes, which are code-books with the frequency at which the device should be transmitting at a given time. Each device has to have its own frequency code, so it is an interesting problem how to generate these code books for any number of devices. In this talk, we will give a brief introduction to these concepts and in particulary to the study Costas arrays, which are known to have nearly ideal auto-ambiguity properties. Then, we present some open problems in the ambiguity of families of Costas arrays and their relations with the number of solutions of polynomial equations. This is a joint work with Cécile Dartyge.


15 décembre 2016 à 14h30
Alain Plagne
(École polytechnique)

Dernières nouvelles des ensembles de Sidon

Dans cet exposé, après avoir rappelé les origines des ensembles dits de Sidon et les travaux effectués sur la taille maximale qu'ils peuvent avoir, nous évoquerons les nouvelles bornes supérieures obtenues récemment avec Laurent Habsieger.


8 décembre 2016 à 14h30
Lucile Devin
(Université Paris-Sud)

Courses de nombres premiers pour les coefficients de certaines fonction L

Dans cet exposé nous généraliserons l'approche de Rubinstein et Sarnak puis Fiorilli pour les questions de biais de Chebyshev. Nous étudierons des courses de coefficients de fonctions L vérifiant certaines conditions analytiques. Ensuite nous mettrons en avant quelques liens entre les propriétés des zéros de la fonction L étudiée et les propriétés de la distribution limite associée à la course de premiers pour les coefficients de cette fonction L.


1 décembre 2016
Journée d'Approximation Diophantienne

à 11h00 en salle M3 au sous-sol (IECL, bâtiment enseignement)
Hajime Kaneko
(Université de Tsukuba, Japon)

Algebraic independence of the values of power series with unbounded coefficients

Bailey, Borwein, Crandall, and Pomerance gave a criterion for the transcendence of real numbers, using the numbers of nonzero digits in the binary expansions of real numbers. Generalizing their method, we first introduce a criterion for the transcendence of certain real numbers of the form \[f(\mathbf{t};\beta^{-1})=\sum_{n=0}^{\infty} t_n \beta^{-n},\] where $\mathbf{t}=(t_n)_{n=0,1,\ldots}$ is a sequence of nonnegative integers and $\beta$ is a Pisot or Salem number. \par Next, we investigate the algebraic independence of $ f(\mathbf{t};\beta^{-1})$ for a fixed $\beta$ and distinct sequences $\mathbf{t}$ in the case where $\mathbf{t}$ is not generally bounded. Using our criterion for algebraic independence, we deduce the following: Let \(\mathcal{A}\) be a set of nonnegative integers satisfying certain assumptions. For any nonnegative integer \(n\) and real numbers \(\mu,\nu\), put \[r_{\mu,\nu}(n):=\left\lfloor\exp\Big( (n+2)^{\mu}\big(\log (n+2)\big)^{\nu} \Big)\right\rfloor.\] Then the continuum set \begin{align*} \left\{\left. \sum_{n\in\mathcal{A}}r_{\mu,\nu}(n)\beta^{-n} \ \right| \ \mu,\nu\in\mathbb{R}\mbox{ with } 0<\mu<1\mbox{, or }\mu=0\mbox{ and }\nu\geq 0 \right\} \end{align*} is algebraic independent, where \(\beta\) is a fixed Pisot number or Salem number. Our results are applicable to a new class of real numbers including the number \[\sum_{m=1}^{\infty} \beta^{-\lfloor m^{\log m}\rfloor}.\]

à 14h30 en salle Döblin
Yann Bugeaud
(Université de Strasbourg)

Sur le développement décimal de ${\rm e}$

Il est fort probable que ${\rm e}, \log 2$ et $\sqrt{2}$ soient tous trois normaux en base $10$, c'est-à-dire que, pour tout entier $k$, tout bloc de $k$ chiffres $0, 1, \ldots , 9$ apparaisse dans leur développement décimal avec la fréquence $1/10^k$. De tels résultats semblent cependant complètement hors de portée. Nous nous intéressons à des questions apparemment plus simples : nous prenons un point de vue de combinatoire des mots et, pour tout entier $b \ge 2$, regardons le développement en base $b$ d'un nombre réel comme un mot infini sur l'alphabet $\{0, 1, \ldots , b-1\}$. Nous montrons que pour ${\rm e}, \log(2017/2016)$ et tout nombre algébrique irrationnel (entre autres nombres classiques), ces mots infinis ne sont pas ``trop simples", dans un sens précis. Aucune connaissance particulière n'est requise pour suivre l'exposé.

à 15h30 en salle Döblin
Lingmin Liao
(Université Paris-Est Créteil Val de Marne)

Dimension de Hausdorff des ensembles des vecteurs singuliers pondérés

Soit $w=(w_1, w_2)$ un couple de nombres réels positifs tels que $w_1+ w_2 = 1$. Un vecteur $x=(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2$ est dit $w$-singulier si pour chaque $\epsilon>0$, il existe un réel $T_0>1$ tel que pour tout $T>T_0$, il existe des nombres entiers $p_1, p_2, q$, satisfaisant $0<q<T$, $|qx_1 - p_1|<\epsilon^{w_1 } T^{-w_1}$, et $|qx_2 - p_2|<\epsilon^{w_2} T^{-w_2}$. Nous montrons que l'ensemble des vecteurs $w$-singuliers a la dimension de Hausdorff $2-\frac{1}{1+\max\{w_1, w_2\}}$. Ce travail est une généralisation de celui de Cheung dans lequel la dimension de Hausdorff de l'ensemble des vecteurs singuliers non pondérées ($w_1=w_2=1/2$) est trouvée. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ronggang Shi, Omri N. Solan et Nattalie Tamam.

24 novembre 2016 à 14h30
Qiang Wu
(Université Normale de Sud-Ouest, Chine)

The auxiliary functions and the reciprocal algebraic integers

In this talk we give a lower bound of the absolute trace of totally positive reciprocal algebraic integers and the smallest houses of reciprocal algebraic integers with degree up to 42 by using a new type auxiliary function for the trace of reciprocal algebraic integers.

3 novembre 2016 à 14h30
Efthymios Sofos
(Université de Leiden, Pays-Bas)

Counting rational points on quartic del Pezzo surfaces with a rational conic

We obtain upper and lower bounds, of the expected order of magnitude, regarding Manin's conjecture for any quartic del Pezzo surface over $\mathbb{Q}$ that contains a conic defined over $\mathbb{Q}$.
We use fibrations to translate the problem into an analytic problem regarding divisor sums. These sums cannot be directly evaluated and we use algebraic arguments to convert them into averages of certain arithmetic functions in number fields. These averages are then bounded by adopting an important technique of Nair and Tenenbaum in the new setting.
This is joint work with T. Browning.


6 octobre 2016 à 14h30
Raphael Steiner
(Université de Bristol, Angleterre)

Optimal covering exponent for $S^3$ under twisted Linnik-Selberg-Conjecture

Let $S^3$ denote the unit sphere $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$. In a letter about the efficiency of a universal sets of quantum gates, Sarnak raises the question how well points on $S^3$ can be approximated by a rational point of a given small height. Equivalently, given $r \in \mathbb{N}$ how small can one take $\epsilon$ such that the union of all $\epsilon$-balls centred at points $\boldsymbol{x}/r \in S^3$ with $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}^4$ cover the whole of $S^3$. Using Heath-Brown's smooth $\delta$-function variant of the circle method Sardari is able to show that one can take $\epsilon \gg r^{-1/3+\delta}$, for any $\delta>0$. By extending the argument and exploiting further cancellation we are able to show that a twisted version of the Linnik-Selberg-Conjecture on sums of Kloosterman sums implies the optimal choice of $\epsilon \gg r^{-1/2+\delta}$. Furthermore we give some progress towards the twisted Linnik-Selberg-Conjecture.

This is joint work with T.D. Browning and V. Kumaraswamy.


29 septembre 2016 à 14h30
Walid Wannes
(Université de Sfax)

On the distribution of arithmetic functions subject to certain congruence conditions

Let $f(n)$ be a strongly $q$-additive function with integer values (i.e. $f(lq^j+m)=f(l)+f(m),$ with $(l,m,j)\in \mathbb{N}^3, 0\leq m<q^j$).

Let $k\geqslant 2$ be an integer, a positive integer $n$ is said $k$-free if for each prime $p|n$, one has $p^{k}\nmid n$. For $k\geq 2$, we try to estimate the number of positive integers $n\leq N$ (resp. $p\leq N$, $p$: prime) for which $f(n)$ is $k$-free (resp. $f(p)$ is $k$-free) where $f$ is strongly $q$-additive function.

Furthermore, we consider a problem of the distribution of the largest prime factor $P(n)$ in congruences classes. Indeed, we provide an asymptotic expansions for the cardinal of $$\mathcal{A}(x,a,b) =\{ n \leq x, f\big(P(n)\big) \equiv a \mod b\},$$ where $f$ is strongly $q$-additive function, $b\geq 2$ and $a \in \mathbb{Z}$. Also, we prove that the sequence $\{ \alpha P(n) , n\geq 1, f\big(P(n)\big) \equiv a \mod b\}$ is uniformly distributed modulo 1 if and only if $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.


22 septembre 2016 à 14h30
Xi Ping
(Université de Xi'an, Chine)

When Pólya-Vinogradov meets van der Corput

For a function $F:\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{C}$, we consider the average of $F$ over an interval $I$, where $I$ is incomplete in the sense that the length is smaller than $q$. The classical approach of Pólya-Vinogradov to short character sums is applicable only if the length of $I$ is larger than $\sqrt{q}$. In this talk, we shall present how the ideas of van der Corput on analytic exponential sums can be combined with Pólya-Vinogradov to beat the $\sqrt{q}$-barrier, as long as the moduli $q$ allows certain factorizations. This will lead to a method which we call “arithmetic exponent pairs”. In particular, we will focus on squarefree $q$ and $F$ as a product of certain Frobenius trace functions defined on $\mathbf{F}_p$ for $p\mid q$. Some applications of arithmetic exponent pairs will also be mentioned. This is joint work with Jie Wu.


Les séminaires passés de l'année universitaire 2015/16 :

30 juin 2016 à 14h30
Kristian Seip
(Université norvégienne de sciences et de technologie)

Gál type GCD sums and extreme values of the Riemann zeta function

In recent joint work with Aistleitner, Berkes, Bondarenko, and Hilberdink, we have found optimal bounds for sums of the form $\sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{(n_k,n_{\ell})^{2\sigma}}{(n_k n_{\ell})^{\alpha}} $, where $n_1,..., n_N$ are distinct positive integers and $0<\sigma<1$. Such sums are named after Gál who in 1949, solving a prize problem proposed by Erdős, settled the case $\sigma=1$. I will discuss the relation between such estimates and extreme values of $|\zeta(\sigma+i t)|$. In particular, I will present the following theorem of Bondarenko and myself: The maximum of $|\zeta(1/2+it)|$ on the interval $T^{1/2}\le t \le T$ is at least $\exp\left((1/\sqrt{2}+o(1)) \sqrt{\log T \log\log\log T/\log\log T}\right)$ when $T\to \infty$.


23 juin 2016 à 14h30
Gérald Tenenbaum
(IECL)

Valeurs moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes

À la fin des années 1960, Wirsing et Halász ont établi des estimations fondamentales pour les valeurs moyennes des fonctions arithmétiques multiplicatives. Le travail qui sera exposé revisite ces travaux pour fournir, sous des hypothèses allégées, des versions effectives. Plusieurs applications seront décrites, notamment aux évaluations des différences de fonctions «simulatrices», aux lois locales de la répartition des facteurs premiers issus d’un ensemble arbitraire, et aux lois de répartition pondérées des fonctions additives réelles.


16 juin 2016 à 14h30
Florent Jouve
(Université Paris-Sud)

Entiers consécutifs sans facteur carré et équations de Pell

Dans une série de travaux avec E. Fouvry, on s'intéresse à la taille du régulateur des corps quadratiques réels, ainsi qu'à la taille de la solution fondamentale à l'équation de Pell-Fermat $x^2-Dy^2=1$, comme fonction du paramètre $D$. L'exposé présentera ces travaux ainsi que les liens avec la question du comportement asymptotique du nombre de paires d'entiers $(n,n+1)$ sans facteur carré et inférieurs à $x$.


9 juin 2016 à 13h30
Paul Mercat
(Université d'Aix-Marseille)

Construction de fractions continues périodiques uniformément bornées

Il y a de nombreuses interprétations des fractions continues et du fait qu'elles soient bornées ou non. Par exemple nous verrons des interprétations en termes d'approximation par des rationnels, en termes de géodésiques sur la surface modulaire ou encore en termes de sous-monoïdes de $GL(2,\mathbb{Z})$. Après avoir expliqué cela, nous verrons des résultats sur ces fractions continues bornées, comme par exemple le fait que dans tout corps quadratique réel il y ait une infinité de fractions continues périodiques uniformément bornées. Nous verrons aussi une conjecture de Zaremba sur les développements en fractions continues bornées de rationnels et une conjecture de McMullen sur les fractions continues périodiques dans les corps quadratiques réels. Grâce à une construction élémentaire de fractions continues périodiques à partir d'une fraction continue finie, je démontrerai que la conjecture de Zaremba implique celle de McMullen. J'expliquerai aussi comment on peut obtenir dans tout corps quadratique réel, une infinité de fractions continues périodiques uniformément bornées à partir d'une seule mais qui est d'une forme particulière.


2 juin 2016 à 14h30
Dmitry Frolenkov
(Institute of Applied Mathematics, Khabarovsk)

On Zaremba's conjecutre

Zaremba's conjecture (1971) states that every positive integer number can be represented as a denominator (continuant) of a finite continued fraction with all partial quotients being bounded by an absolute constant $A$. It is supposed that $A = 2$. In 2011 several new breakthrough theorems concerning this conjecture were proved by Bourgain and Kontorovich. The easiest of them states that the set of numbers satisfying Zaremba's conjecture with $A=50$ has a positive proportion in $[1;N]$. This result was improved by D. Frolenkov and I. D. Kan who proved $A=5$. Currently the best result is due to I. D. Kan and is $A=4$. In the talk we will discuss the approach of Bourgain and Kontorovich and ideas that lead to improvement of their result.


26 mai 2016 à 14h30
Bruno Martin
(Université du Littoral Côte d'Opale)

Sur les nombres premiers dont la somme des chiffres est moyenne

Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des nombres premiers $p$ dont la somme des chiffres en base $2$ vaut $s(p)=\lfloor \frac{1}{2} \log_2 n\rfloor$. Nous montrons que pour tout nombre irrationnel $\beta$, la suite $(\beta p)_{p\in\mathcal{E}}$ est équirépartie modulo 1. Pour ce faire nous étudions la somme d'exponentielles \[ \sum_{\substack{p\le x\\ s_2(p)=k}} e^{2i\pi p\beta} \] où $k$ est un nombre entier ''proche'' de $\frac{1}{2} \log_2 x$ et $\beta$ un nombre irrationnel. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Christian Mauduit et Joël Rivat (Université d'Aix-Marseille).


12 mai 2016 à 14h30
Pablo Candela
(Alfred Rényi Institut des Mathématiques, Budapest)

Une généralisation récente du lemme de Rokhlin, et quelques applications en combinatoire

Le lemme de Rokhlin est un outil fondamental en théorie ergodique, permettant, entre autres, d'approximer un système dynamique mesuré inversible apériodique par un système périodique. Je décrirai une généralisation de ce lemme qui l'étend aux systèmes de plusieurs transformations non inversibles, et donnerai des applications en combinatoire. Travail en commun avec Artur Avila.


28 avril 2016 à 14h30
Hervé Queffélec
(Université de Lille)

Espaces de Hardy de séries de Dirichlet; quelques liens avec la théorie des nombres

En 1997, pour répondre à un problème de type Wiener sur la complétude (le caractère base de Riesz) de l'espace engendré par les dilatées d'une fonction donnée, Hedenmalm-Lindquist-Seip ont introduit l'espace de Hardy $\mathcal{H}^2$ des séries de Dirichlet $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ à coefficients de carré sommable, et l'espace $\mathcal{H}^\infty$ de ses multiplicateurs, les séries de Dirichlet bornées. Les opérateurs de composition sur $\mathcal{H}^2$ ont ensuite été caractérisés par Gordon et Hedenmalm en 1999, un de leurs outils étant l'inégalité de Hilbert généralisée. Puis Bayart (2002) a naturellement introduit les espaces de Hardy plus généraux $\mathcal{H}^p$, analogues aux espaces de Hardy $H^p$ du disque, et étudié leurs opérateurs de composition. Le sujet a été revisité par Queffélec-Seip, puis Bayart-Brevig, et de nouveau Bayart-Queffélec-Seip en 2015 et 2016; mais plusieurs problèmes ouverts subsistent quand $p$ n'est pas un entier pair, en particulier (problème de Helson) quand $p=1$. Dans cet exposé de survol, nous essaierons de présenter quelques-uns de ces problèmes ouverts, et leurs liens avec la théorie analytique des nombres.


28 avril 2016 à 15h30
Martine Queffélec
(Université de Lille)

Approximation diophantienne et développements de nombres réels

Je m'intéresse à une question naturelle et très ancienne qui est la classification des nombres réels selon leur qualité d'approximation par les rationnels mais déjà se pose le problème de la description des nombres réels : certains apparaissent comme valeurs ou périodes de fonctions régulières, d'autres sont représentés à l'aide d'un développement adapté, et les techniques sont totalement différentes suivant les cas. On sait que le développement en fraction continue fournit les meilleures approximations rationnelles mais, lorsque le nombre est défini par un développement en base $b\geq 2$ par exemple, on peut rarement les déterminer. Après un bref rappel historique on regardera en détail l'exemple du nombre de Thue-Morse où les techniques se combinent avec succès et on finira en citant quelques résultats métriques liés aux développements.


21 avril 2016 à 14h30
Martin Widmer
(Royal Holloway)

Northcott Property, Decidability, and Diophantine Approximation

A subset of the algebraic numbers is said to have the Northcott Property if all of its subsets of bounded absolute Weil height are finite. Since 1949 it is knows that number fields have the Northcott property but the first examples of fields of infinite degree were found in 2001 (Bombieri and Zannier). We discuss a new connection, observed recently by Vidaux and Videla, between the Northcott Property and the decidability of rings of algebraic integers.


31 mars 2016 à 14h30
Lukas Spiegelhofer
(IECL / Université technique de Vienne)

Divisibility of binomial coefficients by powers of two

Let $\vartheta(j,n)$ be the number number of binomial coefficients in row $n$ of Pascal's triangle that are exactly divisible by $2^j$. It is known that $\vartheta(j,n)$ can be expressed using $\vartheta(0,n)=2^{s_2(n)}$ and a polynomial $P_j$ in subblock-counting functions $\left\lvert n\right\rvert_w$ in base $2$. For example, the normalized quantity $\vartheta(1,n)/\vartheta(0,n)$ equals $\frac 12\left\lvert n\right\rvert_{10}$, where $\left\lvert n\right\rvert_{10}$ counts the number of occurrences of $10$ in the binary expansion of $n$. Let $M$ be a monomial and consider the coefficient $c_j$ of $M$ in the polynomial $P_j$. In this talk, we present a method for obtaining the generating function of the sequence $(c_j)_{j\geq 0}$. In particular, for the monomial $X_{10}$, corresponding to the term $\left\lvert n\right\rvert_{10}$, we obtain the generating function $\log(1+x/2)$, which has the coefficients $0,1/2,-1/8,1/24,-1/64,\ldots$. This is joint work with Michael Wallner (TU Vienna).


24 mars 2016 à 14h30
Hajime Kaneko
(Université de Tsukuba, Japon)

On the beta expansions of algebraic numbers and related results

Borel conjectured that any algebraic numbers are normal in every integral base $b\geq 2$. However, the conjecture is still open. Bailey, Borwein, Crandall, and Pomerance studied the numbers of nonzero digits of algebraic irrational numbers to give partial results for Borel’s conjecture. In this talk, we generalize their method to investigate the digits of algebraic numbers with respect to beta expansion. As a consequence of our results on beta expansion, we give new criteria for the transcendence and algebraic independence of real numbers.


17 mars 2016 à 14h30
Jie Wu
(Université de Lorraine/CNRS)

Sign changes of Fourier coefficients of half-integral weight cusp forms

In this talk, we shall consider the sign changes of Fourier coefficients of half-integral weight cusp forms and present two quantitative results on the number of sign changes of these coefficients at square-free integers or positive integers. This is joint work with Y.-J. Jiang, Y.-K. Lau, G.-S. Lü and E. Royer.


10 mars 2016 à 14h30
Olivier Ramaré
(Université de Lille I)

L'inégalité de Brun-Titchmarsh

Étant donné une longueur d'intervalle $N$, le nombre maximal de nombres premiers $\rho(N)$ qui sont dans un intervalle de longueur $N$ est une quantité majeure déjà étudiée par Hardy & Littlewood en 1922. L'inégalité de Brun-Titchmarsh dans la forme due à Montgomery & Vaughan en 1973 nous garantit la borne supérieure $\rho(N)\le 2N/\log N$ pour $\rho(N)$. La première question ouverte est de savoir si ce facteur 2 est optimal ou non. Une borne similaire est valable pour les progressions arithmétiques et il est connu que diminuer ce facteur 2 est équivalent à montrer qu'il n'y a pas de zéro de Siegel, ou, de façon équivalente, qu'il y a suffisamment de petits nombres premiers qui se décomposent dans une des extensions quadratiques. Cet exposé présente un historique du sujet et conclura par un résultat nouveau. À partir d'une inégalité fonctionnelle qui mélange la crible de Selberg et le grand crible, nous démontrons avec Soroosh Yazdani que $\rho(N)\le 2N/(\log N + 5.66+o(1))$. La méthode permet d'imaginer que l'on peut remplacer la constante 5.66 par un nombre aussi grand que l'on souhaite.


3 mars 2016 à 14h30
Karam Aloui
(Université de Sfax, Tunisie)

Somme des chiffres et répartition dans les classes de congruence pour les palindromes ellipséphiques

Un nombre entier est dit palindrome (en base $q$) si son écriture dans cette base $q$ est symétrique, c'est-à-dire qu'il s'écrit identiquement de droite à gauche et de gauche à droite. Il est dit ellipséphique s'il s'écrit (toujours en base $q$) par le biais des éléments d'une famille $\mathcal{D}\varsubsetneq\{0,\ldots,q-1\}$. Je me propose de généraliser certains résultats concernant la répartition dans les progressions arithmétiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres palindromes ellipséphiques (distribution dans les classes de congruence, nombres sans facteurs puissance $k$-ièmes, équirépartition modulo 1).


25 février 2016 à 14h30
Alisa Sedunova
(Université Pierre et Marie Curie)

On the Bombieri-Pila method over function fields

E. Bombieri and J. Pila proved that if $\Gamma$ is a subset of an irreducible algebraic curve of degree $d$ inside a square of side $N$, then the number of lattice points on $\Gamma$ is bounded by $c(d,\varepsilon)N^{\frac{1}{d}+\varepsilon}$ for any $\varepsilon>0$, where the constant $c(d,\varepsilon)$ does not depend on $\Gamma$. There are many analogues of this remarkable result. For example, one can be interested in finding a bound for a number of solutions of $f(x,y)=0 \mod p$ with $x\in I$, $y\in J$, where $I$ and $J$ are short intervals in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (Here we should assume that the lengths of $I$ and $J$ are much shorter than $p$, so that the Weil bound and other standard methods cannot be applied.) One can go further and look for a function field analogue. Here we work in a finite field $\mathbb{F}_{q^n}$ modelled as $\mathbb{F}_q[T]/f(T)$ where $f$ is a fixed irreducible polynomial of degree $n$ and $T$ is a formal variable. Then an interval is the set of polynomials of the form $X+Y=X(T)+Y(T)$, where $X\in \mathbb{F}_q[T]$ is a fixed polynomial and $Y(T)$ runs through all polynomials of degree bounded by a given natural number. Our main goal is to prove the following result : Let $\mathcal{C}$ be an irreducible algebraic curve of degree $d$ over $\mathbb{F}_q[T]$, $q$ is a prime power. Define $S$ as the set of points on $\mathcal{C}$ inside $I^2$, where $I$ is a set of polynomials $X \in \mathbb{F}_q[T]$ with $\deg X \le n$ and $|I|=q^{n+1}$. Then $|S|\ll_{d,\varepsilon} |I|^{\frac{1}{d}+\varepsilon}.$


11 février 2016 à 14h30
Jean-Paul Allouche
(Université Pierre et Marie Curie)

Variations autour du symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker et des suites automatiques

Si l'on s'intéresse aux entiers qui sont des carrés modulo un nombre premier $p$, on introduit le ``symbole de Legendre'' $\left(\frac{m}{p}\right)_L$ qui peut-être défini ainsi $$ \left(\frac{m}{p}\right)_L:= \begin{cases} +1, \; \text{si $m$ est un carré non nul modulo $p$;}\\ -1, \; \text{si $m$ n'est pas un carré modulo $p$;}\\ 0, \; \text{si $m\equiv 0$ (mod $p$)}. \end{cases} $$ Le symbole de Legendre $\left(\frac{m}{p}\right)_L$ se prolonge, par multiplicativité, en le symbole de Jacobi puis en le symbole de Kronecker $\left(\frac{m}{p}\right)_K$ (au prix de la perte de la propriété de détecter les carrés, mais en conservant la réciprocité quadratique). Comme ces quantités coïncident lorsqu'elles sont toutes deux définies, nous écrirons simplement $\left(\frac{m}{n}\right)$. Il est facile de voir que, pour $a$ fixé l'application $m \rightarrow \left(\frac{m}{a}\right)$ est périodique ; en revanche l'application $n \rightarrow \left(\frac{a}{n}\right)$ ne l'est pas nécessairement, contrairement à ce qui est écrit implicitement ou explicitement dans différentes sources $\ldots$ Plus précisément cette application n'est pas périodique si et seulement si $a$ est congru à 3 modulo 4. Mais si elle n'est pas périodique, a-t-elle une régularité quelconque ? Un indice pour une réponse se trouve dans le titre ci-dessus. Nous palerons aussi de "mock characters" dans cet exposé qui résume un travail en cours avec Leo Goldmakher.


4 février 2016 à 14h30
Benjamin Girard
(Université Pierre et Marie Curie)

Autour d'un problème combinatoire d'Erdos, Kleitman et Lemke

Je décrirai un problème combinatoire tirant son origine de la conjecture suivante d'Erdos et Lemke : parmi $n$ diviseurs d'un entier $n$, répétitions autorisées, on peut toujours en sélectionner un certain nombre dont la somme vaut $n$. Même si Kleitman et Lemke ont pu démontrer cette conjecture, ils ont aussi remarqué que des résultats plus généraux de ce type pouvaient s'obtenir en étudiant un invariant combinatoire particulier, dans le contexte des groupes abéliens finis. Je présenterai une majoration donnant le bon ordre de grandeur pour cet invariant.


28 janvier 2016 à 14h30
Marc Munsch
(Université de Montréal)

Moments des fonctions L "shiftées" et moments des fonctions thêta

Pour $\chi$ un caractère de Dirichlet modulo $p$, on définit sa fonction thêta associée $\theta(x,\chi) := \sum_{n\geq 1} \chi(n) e^{- \pi n^2x/p}$. Le calcul de l'asymptotique des moments des fonctions $L$ est un problème classique de théorie analytique des nombres. De façon analogue, nous étudions et conjecturons l'asymptotique des moments des fonctions thêta. On démontre une borne inférieure du bon ordre de grandeur en adaptant la méthode de Rudnick et Soundararajan ainsi qu'une borne supérieure "presque" optimale en supposant GRH. Pour ce faire, on obtient une majoration pour les moments des fonctions $L$ "shiftées" via la méthode de Soundararajan.


17 décembre 2015 à 14h30
Dijana Kreso
(Université technique de Graz, Autriche)

Separated variables equations and lacunary polynomials

We deal with general equations of type $f(x)=g(y)$, where polynomials $f$ and $g$ have coefficients in a number field and a fixed number of nonconstant terms, but the degrees of the terms and the coefficients may vary. We conclude results about finiteness of solutions in $S$-integers $x$, $y$ of such equations. To that end, we employ known results and develop new ones on the possible ways of writing such polynomials as a composition of lower degree polynomials, which is a topic of independent interest.


10 décembre 2015 à 14h30
Efthymios Sofos
(Université de Leiden, Pays-Bas)

On the fibration method in analytic number theory

The fibration method, very broadly, refers to the situation where one establishes a required property for a variety by fibering it into simpler varieties known to satisfy the said property. Its use in arithmetic geometry has been made chiefly in the context of the Brauer-Manin obstruction, for example in the works of Swinnerton-Dyer and Colliot-Thélène and most recently in that of Harpaz and Wittenberg. In this talk we will show that this method can be developed within the context of analytic number theory with the aim of tackling a range of important problems.
Our first result regards obtaining correct lower bounds for Manin's conjecture for smooth del Pezzo surfaces of degree $>1$ which have a conic bundle structure. One should notice that the conjecture has not been established for these varieties and there were previously only weak upper bounds for degree 3 and very scarce results for degree 2. The second problem we shall refer to is known as the Sarnak saturation number: Given a variety V defined over the rationals, it is defined as the least integer $r(V)$ such that rational points with at most $r$ prime factors are Zariski dense in $V$. We shall show that varieties fibered into unirational varieties have finite saturation. This covers many new low dimensional cases unassailable by other analytic methods hitherto used in this problem.


3 décembre 2015 à 14h30
Izabela Petrykiewicz
(Bonn, Leiden)

Differentiability of fractional integrals of modular forms and Brjuno functions

Eisenstein series $E_k$ are important in the study of modular forms since every modular form of even weight under $SL_2(\mathbb{Z})$ can be represented as an isobaric polynomial in $E_4$ and $E_6$. In my talk, I will briefly present the work on analytic properties of certain series that arise from Eisenstein series. We find that the differentiability of these series at an irrational point $x$ depends on the continued fraction expansion of $x$. In particular, it depends on a generalised version of the Brjuno condition. The Brjuno condition and the Brjuno function appear in small divisors problems, and were extensively studied by Marmi, Moussa and Yoccoz. These results were obtained by exploiting modular equation, using the method of Itatsu, who in 1981 studied properties of Riemann's "nondifferentiable" function. The refinement of the results is done by studying Hölder regularity exponent through wavelet transforms, the method used by Jaffard in 1996 also in the course of studying Riemann's "nondifferentiable" function. The main part of the talk will consist of presenting an alternative approach to the problem, which is work in progress in collaboration with Stefano Marmi (Pisa). The approach is based on extending Brjuno functions to complex plane.


3 décembre 2015 à 15h30
Milton Minervino
(Aix-Marseille Université)

Tilings for beta-numeration

We study several tilings by Rauzy fractals in the framework of beta-numeration. We deduce some interesting dynamical and arithmetical properties for these numeration systems and their natural extensions and we generalise some results to the case where the base beta is not a unit.


26 novembre 2015 à 14h30
Xavier Roblot
(Université Claude Bernard Lyon I)

La conjecture galoisienne de Brumer-Stark

Soit $K/k$ une extension abélienne de corps de nombres, la conjecture de Brumer--Stark prédit qu’un élément construit à partir de valeurs des fonctions $L$ associées à cette extension annule le groupe de classes de $K$. Cette conjecture généralise le résultat classique de Stickelberger sur la factorisation des sommes de Gauss. Dans cet exposé, j’expliquerai d'abord le résultat de Stickelberger, puis comment ce résultat se généralise pour donner la conjecture de Brumer-Stark ainsi que l’ensemble des différents objets qui interviennent dans la conjecture. Ensuite, j’expliquerai comment, dans un travail en commun avec G. Dejou, nous avons généralisé cette conjecture au cas galoisien. Je donnerai pour finir un aperçu des résultats connus sur cette conjecture.


19 novembre 2015 à 14h30
Eric Saias
(Université Pierre et Marie Curie, Paris 6)

Fonctions complètement multiplicatives de somme nulle

L'objet de l'exposé est de donner un compte rendu d'un travail récent en collaboration avec Jean-Pierre Kahane. Appelons fonction CMO toute fonction complètement multiplicative qui est le terme général d'une série convergente de somme nulle. Nous donnerons des propriétés et des exemples de fonctions CMO. Nous ferons en particulier le lien avec le théorème d'Halasz sur la fonction sommatoire d'une fonction multiplicative. Nous achèverons l'exposé en posant des questions ouvertes sur les fonctions complètement multiplicatives, questions qui sont reliées à l'hypothèse de Riemann généralisée.


5 novembre 2015 à 14h30
Titus Hilberdink
(University of Reading)

Abscissae of functions related to a class of problems of analytic number theory

Dirichlet's divisor problem (DDP): determine \[ \inf\{ \lambda: \Delta(x) = \mathcal{O}(x^{\lambda})\},\quad\mbox{ where }\quad \Delta(x) =\sum_{n\le x} (d(n)-\log n-2\gamma)\] and the Lindelöf Hypothesis (LH): determine \[ \inf\{ \lambda: \zeta(\mbox{$\frac{1}{2}$}+it) = \mathcal{O}(t^{\lambda})\}\] share similar characteristics. In both cases the problem is to find the maximal order of some given function. In the case of DDP, the function is "arithmetical", while for LH, it is holomorphic. The answers are conjectured to be $\frac{1}{4}$ and 0 respectively, and these are true in a mean square sense. In this talk, we consider this problem in great generality; for given $f:(0,\infty)\to\mathbb{C}$ and $p>0$, define "abscissae" $\theta$ and $\theta_p$ by \[ \theta = \inf \left\{ \lambda: f(x) = \mathcal{O}(x^{\lambda})\right\}\quad\mbox{ and } \quad \theta_p = \inf \left\{ \lambda: \biggl(\frac{1}{x}\int_x^{2x} |f|^p\biggr)^{1/p} = \mathcal{O}(x^{\lambda})\right\}.\] Natural questions like (i) when is $\theta_p\to \theta$, (ii) when is $\theta_p\equiv \theta$, and (iii) what function can $\theta_p$ be, are considered and answered in terms of the size of the `level sets' \[ \{ t\in [x,2x]:|f(t)|\ge t^{\theta-\lambda}\}.\]


22 octobre 2015 à 14h30
Jeff Shallit
(University of Waterloo, Canada)

Fractions continues: nouveaux et vieux résultats

Je fais un survol des fractions continues, y compris quelques vieux résultats liés aux automates, et un nouveau résultat avec Badziahin sur le nombre transcendant $w = [1,2,1,4,1,2,1,8,1,2,1,4,1,2,1,16,\ldots]$.


15 octobre 2015 à 14h30
Johannes Schleischitz
(Universität für Bodenkultur, Vienna)

Metric Diophantine approximation on manifolds

The talk deals with the metric theory of Diophantine approximation, particularly on manifolds. The basic object of study in Diophantine approximation is rational approximation to irrational real numbers. A well-known, most basic standard result due to Dirichlet is that for all irrational $\zeta$ the inequality $\vert \zeta-p/q\vert\leq q^{-2}$ has infinitely many rational solutions $p/q$. Equivalently one can say any irrational number is approximable to degree at least two by rational numbers. Since the theory of approximation to a single number is basically well-understood by the theory of continued fractions, nowadays simultaneous approximation to a finite set of numbers $\zeta_{1},\ldots,\zeta_{k}$ is the central point of study. Thanks to Jarn\'ik the metric theory of (simultaneous) approximation, by which we mean to determine the Hausdorff dimension of the points in $\mathbb{R}^{k}$ approximable to some given degree, is understood. However, similar questions can be asked when restricting to certain submanifolds of $\mathbb{R}^{k}$, and the situation turns out to be more difficult. After a basic introduction to Diophantine approximation, the main focus of the talk is to present known results on the metric theory of Diophantine approximation on manifolds, without proofs. Some results concerning the closely related topic of approximation of linear forms will be displayed as well.


8 octobre 2015 à 14h30
Stefan Planitzer
(Université Technique de Graz)

Sums of primes and powers of a fixed positve integer

In this talk I want to present the results of the research done for my Master's Thesis concerning integers with a representation as a sum of a prime and a power of a fixed positive integer $g$. The history of questions concerning this type of integers dates back at least until Euler who studied integers not having a representation of the form $p+2^n$. In 1934 Romanoff proved that the lower density of integers with a representation as the sum of a prime and a power of a fixed positive integer $g \geq 2$ is positive. In the past years several authors worked out explicit lower bounds for this lower density in the case $g=2$. I applied a new idea due to Elsholtz and Schlage-Puchta to derive lower bounds for the lower density of integers with a representation of the form $p+g^n$ for $3 \leq g \leq 18$.


7 octobre 2015 (mercredi) à 14h30 (Colloquium le 6 octobre : "Random signs and the Riemann hypothesis")
Adam Harper
(Cambridge)

Prime number races with very many competitors

The prime number race is the competition between different coprime residue classes mod $q$ to contain the most primes, up to a point $x$. Rubinstein and Sarnak showed, assuming two $L$-function conjectures, that as $x$ varies the problem is equivalent to a problem about orderings of certain random variables, having weak correlations coming from number theory. In particular, as $q \rightarrow \infty$ the number of primes in any fixed set of $r$ coprime classes will achieve any given ordering for $\sim 1/r!$ values of $x$. In this talk I will try to explain what happens when $r$ is allowed to grow as a function of $q$. It turns out that one still sees uniformity of orderings in many situations, but not always. The proofs involve various probabilistic ideas, and also some harmonic analysis related to the circle method. This is joint work with Youness Lamzouri.


Les séminaires passés de l'année universitaire 2014/15 :

Jeudi 25 juin 2015 à 14h30
Djordjo Milovic
(Université de Paris-Sud)

Divisibility by $16$ of class numbers in certain families of quadratic number fields

The density of primes $p\equiv 1\pmod{4}$ (resp. $p\equiv 3\pmod{4}$) such that the class number of $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ (resp. $\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$) is divisible by $2^k$ is conjectured to be $2^{-k}$ for all positive integers $k$. The conjecture has been resolved for $k \leq 3$ by the Chebotarev Density Theorem, but similar methods do not appear to be sufficient for $k\geq 4$. We prove the conjecture for $k = 4$ in the family of quadratic fields $\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$ parametrized by primes $p\equiv 3\pmod{4}$. Moreover, we prove the conjecture for $k = 4$ in a thin subfamily of quadratic fields $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ parametrized by primes $p\equiv 1\pmod{4}$.

Jeudi 18 juin 2015 à 14h30
Ramon Moreira-Nunes
(Université de Paris-Sud)

Sommes d'exponentielles courtes et entiers sans facteur carré

Dans cet exposé on discutera le problème de la répartition des entiers sans facteur carré dans les progressions arithmétiques. Nous étudierons deux problèmes liés à cette répartition: l'ordre de grandeur du terme d'erreur et le domaine de validité de la formule asymptotique naturellement associé à la répartition. On fera appel à des majorations de sommes d'exponentielles courtes par Bourgain, Bourgain-Garaev et Fouvry-Kowalski-Michel.

Jeudi 4 juin 2015 à 14h30
Domingo Gómez-Pérez
(Université de Cantabria)

Pseudorandom number generation : Improved results and techniques

Pseudorandom number generation is an important research area with many applications, specially to cryptography and number theory. There are many algorithms to generate pseudorandom numbers, many of which behave much better than theoretically expected. This talk discusses the distribution of $s$-dimensional points of digital explicit inversive pseudorandom numbers with arbitrary lags. A previous bound on the discrepancy, given by Chen et al, is revised by means of hyperplanes arrangements, which leads to new results on the pseudorandomness of the binary threshold sequence derived from digital explicit inversive pseudorandom numbers. Hyperplane arrangements provide new bounds on the correlation measure of order $k$ and the linear complexity profile. Finally, we are able to construct a $d$-dimensional array related to this generator and provide bounds for the multidimensional linear complexity.

18-22 mai 2015
Colloque Numération
(UL, Nancy)

Mardi 12 mai 2015 à 14h30
Izabela Petrykiewicz
(Max Planck Institute, Bonn)

Hölder regularity of fractional integrals of modular forms

In my talk, I will speak about the local behaviour of certain Fourier series, which arise from modular forms. In particular, I will talk about Hölder regularity exponents. There are various ways of classifying a continuous function according to its regularity motivating different definitions of Hölder regularity. I will talk about these various notions in application to fractional integrals of modular forms.
We find that the behaviour of the functions in this context arising from cusp forms differs significantly from the ones where the underlined modular form is not a cusp form. The pointwise Hölder regularity exponent at an irrational x of the later one is related to the continued fraction expansion of x, in a very precise way, whereas the Hölder regularity exponent at an irrational x of the former one depends only on the weight of the cusp form and the order of the fractional integral.
The methods used to obtain these results were developed in the course of the study of the Riemann series by Jaffard (1996) involving wavelets and the study of Fourier series by Chamizo (2004) involving harmonic analysis.
I will talk about the results obtained during my Ph.D. under supervision of Tanguy Rivoal and the joint work with Fernando Chamizo and Serafín Ruiz-Cabello.

Jeudi 7 mai 2015 à 14h30
Daniel Fiorilli
(Université d'Ottawa)

Entiers friables dans les progressions arithmétiques de grand module

Nous démontrerons une asymptotique pour le premier moment du terme d’erreur dans l’approximation usuelle du nombre d’entiers friables congrus à a modulo q, avec a fixé. Ce travail a été accompli en collaboration avec Régis de la Bretèche.

Jeudi 30 avril 2015 à 14h30
Sumaia Saad Eddin
(Université Johannes Kepler Linz, Autriche)

An asymptotic distribution for $|L^{\prime}/L(1, \chi)|$

Let $\chi$ be a Dirichlet character modulo $q$, let $L(s, \chi)$ be the attached Dirichlet $L$-function, and let $L^\prime(s, \chi)$ denotes its derivative with respect to the complex variable $s$. The values at $1$ of Dirichlet $L$-series has received considerable attention, due to their algebraical or geometrical interpretation. Let us mention, in particular, the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures, the Kolyvagin Theorem and the Gross-Stark conjecture. Less is known about $L^\prime/L$ evaluated also at the point $s=1$, through these values are known to be fundamental in studying the distribution of primes since Dirichlet in 1837. In this talk, we show that the values $\left|L^\prime/L(1, \chi)\right|$ behave according to a distribution law. The key to this result is to give an asymptotic formula of the $2k$-th power mean value of $|L^\prime /L(1, \chi)|$ when $\chi$ ranges a primitive Dirichlet character modulo $q$ for $q$ prime.

Jeudi 9 avril 2015 à 14h30
Tang Hengcai
(IECL)

Sums of Fourier coefficients of cusp forms

In this talk, some results related to the Fourier coefficients of primitive cusp forms will be introduced. By the classical sieve method and circle method, some new bounds can be obtained for the shifted convolution sum associated with the Fourier coefficients of cusp forms.

Jeudi 26 mars 2015 à 14h30
Julia Brandes
(Université de Göttingen)

Simultaneous additive equations: Repeated and differing degrees

We obtain bounds for the number of variables required to establish Hasse principles, both for existence of solutions and for asymptotic formulae, for systems of additive equations containing forms of differing degree but also multiple forms of like degree. Apart from the very general estimates of Schmidt and Browning-Heath-Brown, which give weak results when specialised to the diagonal situation, this is the first result on such "hybrid" systems, and in certain special cases we obtain an asymptotic formula whenever the number of variables exceeds twice the total degree of the system, thus attaining the square root barrier. This is joint work with Scott T. Parsell.

Jeudi 19 mars 2015 à 14h30
Jie Wu
(CNRS, Université de Lorraine)

Méthode de Selberg-Delange dans les petits intervalles avec quelques applications arithmétiques

Dans cet exposé, nous présenterons un résultat général concernant la méthode de Selberg-Delange dans les petits intervalles. Comme des applications, nous généraliserons

  • - le théorème de Landau-Selberg concernant le nombre des entiers ayant un nombre de facteurs premiers donné;
  • - le théorème de Erdös-Kac;
  • - la loi de l'arcsinus de Deshouillers-Dress-Tenenbaum;
  • - etc
dans les petits intervalles. C'est un travail en commun avec Zhen Cui (Université Jiaotong de Shanghai) et Guangshi Lü (Université de Shandong).

Jeudi 12 mars 2015 à 14h30
Eric Delaygue
(Université Claude Bernard Lyon 1)

Indépendance algébrique de G-fonctions et congruences "à la Lucas"

Les G-fonctions de Siegel sont des séries entières solutions d'équations différentielles linéaires "arithmétiques", comme les séries hypergéométriques de Gauss à coefficients rationnels ou la série génératrice des nombres d'Apéry. Dans de nombreux cas, leurs coefficients de Taylor vérifient des congruences "à la Lucas". Je décrirai une nouvelle approche utilisant ces congruences pour démontrer l'indépendance algébrique de G-fonctions sans utiliser la théorie de Galois différentielle. Ce travail est en commun avec B. Adamczewski et J. Bell.

Jeudi 5 mars 2015 à 14h30
Benoît Rittaud
(Université Sorbonne Paris Cité)

Structures algébriques sur les mots circulaires

Un mot circulaire est un mot indexé par $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour un certain $n$. Lorsque l'alphabet est un groupe, l'ensemble des mots circulaires est naturellement muni lui aussi d'une structure de groupe. Dans le cas où l'alphabet est l'ensemble $\mathbb{Z}$, en définissant une notion de "retenue" (qui se traduit par une relation d'équivalence entre mots à partir d'une condition algébrique), les classes d'équivalences de mots de taille $n$ définissent un groupe fini. Nous étudierons quelques unes des propriétés de ces groupes, lesquelles débouchent assez naturellement sur des conjectures de primalité similaires à celles sur les nombres de Fermat ou de Mersenne.

Vendredi 27 février 2015 à 10h00
(Salle de Conférences, 2ième étage)
Michael Drmota
(Université technique de Vienne, Autriche)

Quasi-Random properties of the Thue-Morse sequence and related problems

The Thue-Morse sequence that can be defined by $t_n = s(n) \bmod 2$, where $s(n)$ denotes the binary sum-of-digits function, has been studied in many different contexts from combinatorics to algebra, number theory, harmonic analysis, geometry and dynamical systems. For example, it has a linear subword complexity and is almost periodic. It is also one of the easiest examples of a non-trivial automatic sequence, that is, a sequence that is the output of a finite automaton, where the input are the $q$-ary digits of a positive integer. Since the subword complexity of the Thue-Morse sequence is linear (as for all automatic sequences) the entropy of the related dynamical system is zero. This also means that is does not behave like a random sequence. However, the situation changes drastically when one uses proper subsequences of automatic sequences, for example the subsequence along primes or squares. It is conjectured that the resulting sequences are normal sequences so that they are "random". Recently this property was proved (together with C. Mauduit and J. Rivat) for the Thue-Morse sequence along the subsequence of squares. The purpose of this talk is give an overview of this field of research and to present the key techniques for obtaining distributional results.

Vendredi 27 février 2015 à 11h00
(Salle de Conférences, 2ième étage)
Christoph Aistleitner
(Université Johannes Kepler Linz, Autriche)

Analysis of lacunary trigonometric products, a generalised Duffin-Schaeffer conjecture and discrepancy of sequences in the unit interval

One of the fundamental theorems of uniform distribution theory states that the fractional parts of the sequence $(n \alpha)_{k \geq 1}$ are uniformly distributed modulo one (u.d. mod 1) for every irrational number $\alpha$. Another important result of Weyl states that for every sequence $(n_k)_{k \geq 1}$ of distinct positive integers the sequence of fractional parts of $(n_k \alpha)_{k \geq 1}$ is u.d. mod 1 for almost all $\alpha$. However, in this general case it is usually extremely difficult to classify those $\alpha$ for which uniform distribution occurs, and to measure the speed of convergence of the empirical distribution of $(\{n_1 \alpha\}, \dots, \{n_N \alpha\})$ towards the uniform distribution. In this talk we investigate this problem in the special case when $(n_k)_{k \geq 1}$ is the Thue-Morse sequence of integers, which means the sequence of positive integers having an even sum of digits in base 2. In particular we utilize a connection with trigonometric products $\prod^{L-1}_{k=0} \left|\sin \pi 2^{k} \alpha \right|$, we give sharp metric estimates for such products and derive from these results sharp metric estimates for exponential sums of $\left(n_{k} \alpha\right)_{k \geq 1}.$ Then we give a metric upper bound for the discrepancy of $\left(\left\{n_{k} \alpha\right\}\right)_{k \geq 1}.$ We show that this bound is best possible if a conjecture of Le Veque on metric diophantine approximation holds true. Further we give some explicite examples of $\alpha$ for which we can give non-trivial and partly sharp estimates for the discrepancy of $\left(\left\{n_{k} \alpha\right\}\right)_{k \geq1}$.

Jeudi 5 février 2015 à 15h30
Zhai Wenguang
(China University of Mining and Technology, Pékin)

Asymptotics for a class of arithmetic functions

We study the summatory function of a class of arithmetic functions, and establish its asymptotic formula with the sharpest error term eatimate by the present methods in the analytic number theory. These arithmetic functions are generalizations and analogues of the $4$-dimensional divisor function $d_4(n).$

Jeudi 29 janvier 2015 à 14h30
Alain Plagne
(École polytechnique)

Théorèmes de type $3k$ dans les groupes

Les théorèmes de type $3k$ (essentiellement, $3k-4$, $3k-3$ et $3k-2$) de Freiman remontent à la toute fin des années 50 lorsque G. Freiman donna la structure précise des ensembles d'entiers satisfaisant une condition du type $|A+A|=3|A|-t$ pour $t$ un entier au moins égal à $2$. Nous exposerons une généralisation de ce résultat au cas où $A$ est un sous-ensemble d'un groupe ordonné. Il s'agit d'un travail fait en commun avec G. Freiman, M. Herzog, P. Longobardi, M. Maj et Y. Stanchescu.

Jeudi 22 janvier 2015 à 14h00
Wolfgang Bertram et Armand Lachand
(IECL, Université de Lorraine)

Séminaire d'Analyse (salle 122, Metz)

Jeudi 15 janvier 2015 à 14h30
Gérald Tenenbaum
(IECL, Université de Lorraine)

Entiers ultrafriables

La théorie des entiers friables, soit sans grand facteur premier, est une branche dynamique de la théorie des nombres actuelle. Nous nous intéresserons à une structure voisine, celle des entiers ultrafriables, qui ne sont divisibles par aucune puissance de nombre premier excédant une borne donnée. Apparaissant naturellement dans certaines applications, la répartition des entiers ultrafriables pose d'intéressantes questions méthodologiques qui peuvent être résolues grâce aux techniques développées dans le cadre des entiers friables.

Jeudi 8 janvier 2015 à 14h30
Sary Drappeau
(Centre de Recherche Mathématiques, Université de Montréal)

Diviseurs en moyenne des entiers friables

Un résultat classique de Deshouillers, Dress et Tenenbaum énonce que les diviseurs des entiers sont distribués en moyenne (en un certain sens) selon la loi de l'arcsinus. Cet exposé portera sur le problème analogue sur les entiers friables, en se basant des travaux de J. Basquin. Il sera question de sommes de fonctions multiplicatives sur les entiers friables, et de l'éventuelle pertinence de la méthode du col à deux variables dans ce contexte.

Jeudi 4 décembre 2014 à 14h30
Xiao Xuanxuan
(IECL, Université de Lorraine)

Moments intégrales des fonctions L automorphes

Dans cet exposé, on introduit la méthode de Soundararajan et Harper sur les moments de la fonction zêta. On applique leurs méthodes aux moments intégrales plus hauts pour les fonctions L automorphes dans l’intervalle court et on donne une preuve de la conjecture de Conrey et al. sous l’Hypothèse de Riemann Généralisée pour les fonctions L automorphes.

Jeudi 27 novembre 2014 à 14h30
(Salle de Conférences, 2ième étage)
Christophe Eckes
(IECL, Université de Lorraine)

Le cours de Weyl en théorie algébrique des nombres à l'Institute for Advanced Study (1938-1939)

Dans cet exposé, nous nous proposons de revenir sur le contexte historique et les motivations qui conduisirent Weyl à proposer une série de cours en théorie algébrique des nombres au cours du premier semestre de l'année 1938-1939 à l'IAS (Princeton). A première vue, l'ouvrage qui résulte de ce cours semble isolé dans l'oeuvre de Weyl, ce dernier étant essentiellement connu pour ses contributions en physique mathématique (relativité générale puis mécanique quantique) ou en théorie des groupes et des algèbres de Lie. En réalité, l'intérêt de Weyl pour la théorie des nombres au sens large (théorie analytique des nombres, théorie algébrique des nombres et géométrie des nombres) apparaît dès ses années de formations à Göttingen et il se manifeste notamment dans ses premières productions scientifiques, comme en témoignent en particulier deux articles publiés en 1916. Weyl entretient par ailleurs des contacts avec Erich Hecke, Carl Siegel et Godfrey Hardy, plus spécialement dans les années 1930 et au début des années 1940. Ajoutons à cela que le cours de 1938-1939 sert de transition à une série de leçons de niveau avancé professées par Claude Chevalley en théorie du corps de classes. De manière plus décisive, nous entendons montrer que le cours de Weyl en théorie algébrique des nombres est très représentatif de sa pratique des mathématiques, qui consiste à présenter et combiner des méthodes distinctes dans l'étude d'une même théorie.

Jeudi 20 novembre 2014 à 14h30
André Stef
(IECL, Université de Lorraine)

Quelques jeux et problèmes classiques liés à la base 2

Jeudi 13 novembre 2014 à 14h30
Liao Lingmin
(LAMA, Université Paris-Est Créteil Val de Marne)

Décomposition minimale des systèmes dynamiques p-adiques

Des polynômes de degré supérieur à deux et à coefficients dans l'anneau $\mathbb{Z}_p$ des entiers $p$-adiques et des fonctions rationnelles ayant bonne réduction dans le corps $\mathbb{Q}_p$ des nombres $p$-adiques sont étudiés comme des systèmes dynamiques sur $\mathbb{Z}_p$ et $\widehat{\mathbb{Q}_p}$ (espace projectif de $\mathbb{Q}_p$) respectivement. La structure dynamique d'un tel système est décrite par une décomposition minimale : tout l'espace est composé d'un nombre fini de points périodiques, d'un nombre fini ou dénombrable de sous-systèmes minimaux, et de bassins d'attraction. Un (sous)-système dynamique est dite minimal si toute orbite est dense dans le (sous)-espace. Une application de cette étude dans la théorie des nombres est de calculer la fréquence de diviseurs premiers dans une suite récurrente des entiers. Il s'agit de travaux en collaboration avec Ai-Hua Fan, Shi-Lei Fan et Yue-Fei Wang.

Jeudi 6 novembre 2014 à 14h30
Lilian Matthiesen
(Jussieu, Université 7 Diderot)

Generalised Fourier coefficients of multiplicative functions

We explain a strategy that allows us to bound the Fourier coefficients of a large class of not necessarily bounded multiplicative functions. Adapting this strategy we show that these functions give rise to functions that are orthogonal to polynomial nilsequences when applying a `W-trick'. This, in turn, provides one of two necessary steps for an application of the Green--Tao methods, which can be employed to asymptotically evaluate linear correlations of such multiplicative functions.

Jeudi 23 octobre 2014 à 14h30
Xu Fei
(Université Normale de la Capitale, Pékin)

Counting integral points in certain homogeneous spaces

The Hardy-Littlewood circle method is the classical method for counting integral points. Once this method can be applied, the asymptotic formula of the number of integral points will be given by the product of the number of local solutions and the local-global principle will be true. However, the local-global principle can not be held in general. In this talk, I will explain the asymptotic formula of the number of integral points in non-compact symmetric homogeneous spaces of semi-simple simply connected algebraic groups is given by the average of the product of the number of local solutions twisted by the Brauer-Manin obstruction. As application, we will prove that the asymptotic formula of the number of integral matrices with a fixed irreducible characteristic polynomial over integers studied by Eskin-Mozes-Shah is equal to the product of the number of local integral solutions over all primes although the density function defined by Borovoi and Rudnick is not trivial in general. This is a joint work with Dasheng Wei.

Jeudi 16 octobre 2014 à 14h30
Jehanne Dousse
(LIAFA, Université 7 Diderot)

Identités de partitions du type Rogers-Ramanujan et équations aux $q$-différences

Une partition d'un entier $n$ est une suite décroissante d'entiers (appelés parts) dont la somme est égale à $n$. Les identités de Rogers-Ramanujan, découvertes en 1894 par Rogers et redécouvertes en 1917 par Ramanujan, établissent que pour tout $n$, le nombre de partitions de $n$ telles que la différence entre deux parts consécutives est au moins $2$ est égal au nombre de partitions de $n$ en parts congrues à $1$ ou $4$ modulo $5$. Plus généralement, les identités du type Rogers-Ramanujan établissent des égalités entre certains types de partitions avec des conditions de différence et des partitions avec des conditions de congruence.
Nous montrerons comment des équations aux $q$-différences sur les séries génératrices de certains types de partitions permettent de prouver des identités du type de Rogers-Ramanujan comme le théorème de Schur et sa généralisation aux surpartitions, le théorème d'Andrews et sa généralisation aux surpartitions ou le théorème de Siladic.

Les séminaires passés de l'année universitaire 2013/14 :

Jeudi 19 juin 2014 à 14h30
Jörg Brüdern
(Université de Göttingen)

Anisotropic diagonal forms

For almost 50 years, Artin's conjecture is known for diagonal forms over $p$-adic numbers. This asserts that any such form of degree $k$ in more than $k^2$ variables has non-trivial zeros. For fewer variables, examples show that certain forms do not have such zeros, and in this talk we present a combinatorial method that completely classifies these when the number of variables exceeds $k^2 - (1/2k)$. We shall show that the classification we give cannot hold for fewer variables, so that our result is best possible. Following a reduction of the problem to zero sumsets mod $p$, the key step in the analysis is a new iterative estimate for certain sumset problems. This talk describes joint work with Hemar Godinho.

Jeudi 12 juin 2014 à 14h30
Dimbinaina Ralaivaosaona
(Université de Stellenbosch)

Les représentations en base multiple des nombres entiers

Soient $p_1$, $p_2$, $\cdots$ $p_m$ des entiers naturels deux-à-deux premiers entre eux, une représentation d'un entier positif $n$ en base ($p_1$, $p_2$, $\cdots$ $p_m$) est une façon d’écrire $n$ sous la forme $$n=\sum_{i=1}^{t} d_i \ p_1^{\alpha_{1,i}} p_2^{\alpha_{2,i}}\cdots p_m^{\alpha_{m,i}}$$ où les $d_i$ sont des entiers naturels strictement inférieurs à un nombre entier donné $d\geq2$, et les puissances $\alpha_{j,i}$ sont également des entiers naturels. En général, il y a plus d'une façon d’écrire un nombre donné sous la forme ci-dessus. Par example, $2^2+2\cdot3$ et $1+3^2$ sont deux représentations différentes de $10$ en base $(2,3)$. On donne une formule asymptotique du nombre de représentations de l'entier $n$ quand $n$ tend vers l’infini.

Jeudi 5 juin 2014 à 14h30
Katalin Gyarmati
(Eötvös Loránd University)

Generation of further pseudorandom binary sequences (Blowing up a single sequence)

The present talk is based on a joint paper with C. Mauduit and A. Sárközy. Assume that a binary sequence is given with strong pseudorandom properties. Here an algorithm is presented and studied which prepares many further binary sequences from the given one. It is shown that if certain conditions hold then each of the sequences obtained in this way also possesses strong pseudorandom properties. Moreover, I will show that certain large families of these sequences also possess strong pseudorandom properties.

Jeudi 22 mai 2014 à 14h30
Yann Bugeaud
(Université de Strasbourg)

Autour de la conjecture de Littlewood

La conjecture de Littlewood, un des plus célèbres problèmes ouverts en approximation diophantienne, affirme que toute paire $(\alpha, \beta)$ de nombres réels vérifie $$ \inf_{q \geq 1} \, q \cdot \Vert q \alpha \Vert \cdot \Vert q \beta \Vert = 0, $$ où $\Vert \cdot \Vert$ désigne la distance à l'entier le plus proche. En 2004, de Mathan et Teulié posèrent une question analogue : si $p$ est un nombre premier, est-il vrai que $$ \inf_{q \ge 1} \, q \cdot \Vert q \alpha \Vert \cdot \vert q \vert_p = 0 $$ pour tout nombre réel $\alpha$ ? Ici, $| \cdot |_p$ déesigne la valeur absolue $p$-adique normalisée de telle sorte que $|p|_p = p^{-1}$. Nous présenterons les résultats récents concernant ces deux problèmes, qui ne sont à ce jour pas encore résolus.

Jeudi 17 avril 2014 à 14h30
Jie Wu
(Université de Lorraine)

Sur la méthode de Selberg-Delange et la loi de l'arcsinus de diviseurs

Dans cet exposé, nous présenterons un résultat général concernant la méthode de Selberg-Delange dans les petits intervalles. Comme une application, nous généraliserons la loi de l'arcsinus de Deshouillers-Dress-Tenenbaum dans les petits intervalles.
C'est un travail conjoint avec Zhen Cui (Université Jiaotong de Shanghai).

Jeudi 10 avril 2014 à 14h30
Christian Elsholtz
(Université Technique de Graz, Autriche)

Hilbert cubes in arithmetic sets

(This is joint work with Rainer Dietmann) Let $a_0, a_1, \ldots, a_d$ denote positive integers and let $$a_0+ \{0,a_1\} + \cdots + \{0, a_d \}\subset S$$ be a so called Hilbert cube, which is inside a given set of positive integers $S$. For various sets $S$ we give an improvement of the maximal dimension of a cube:

  1. If $S$ is the set of squares $x^2 \leq N$, then $d= O(\log \log N)$, improving on Hegyvári and Sárközy's bound $d= O((\log N)^{1/3})$.
  2. If $S$ is a set without an arithmetic progression of length $k$, then $d= O_k (\log N)$, which is best possible.
  3. We further discuss Hilbert cubes in powerful numbers, or pure powers.

The methods include the study of sumset growth (additive combinatorics) and sieve methods.

Jeudi 3 avril 2014 à 14h30
Igor Shparlinski
(The University of New South Wales, Australie)

Effective Hilbert's Nullstellensatz and Finite Fields

We give an overview of recent applications of effective versions of Hilbert's Nullstellensatz to various problems in the theory of finite fields. In particular we show that almost all points on algebraic varieties over finite fields avoid Cartesian products of small order groups. This result is a step towards Poonen's conjecture. We also present some results about the size of the set generated by $s$-fold products of some rational fractions in a finite field. This result has some algorithmic applications. We finish with an outline of some open problems.

Jeudi 27 mars 2014 à 14h30
Michel Waldschmidt
(Université de Paris 6)

La constante d'Euler est-elle un nombre rationnel, un nombre algébrique irrationnel ou bien un nombre transcendant?

Déterminer la nature arithmétique de constantes de l'analyse est le plus souvent un problème difficile. Très fréquemment, on ne connait pas la réponse. C'est le cas pour la question posée dans le titre. Néanmoins, on connaît un certain nombre de propriétés de cette constante d'Euler, qui vaut approximativement $$ 0.5772156649015328606065120900824024310421... $$ Nous en décrirons quelques unes.

Jeudi 20 mars 2014 à 14h30
Fabien Durand
(Université de Picardie)

Autour du théorème de Cobham

Question : Etant donné un sous-ensemble de $\mathbb{N}$ peut-on trouver un ``algorithme simple'' acceptant les éléments de $E$ et rejetant ceux qui n'y appartiennent pas ?
En 1969, Cobham a montré que l'existence d'un tel algorithme dépend de la base dans laquelle les éléments de $E$ sont écrits. Plus précisément : On dit qu'un ensemble d'entiers positifs $E$ est $p$-reconnaissable lorsqu'il existe un automate reconnaissant le langage formé des écritures en base $p$ des éléments de $E$. Le Théorème de Cobham (1969) s'énonce ainsi : Soient $p$ et $q$ deux entiers positifs multiplicativement indépendants et $E$ un ensemble d'entiers positifs. L'ensemble $E$ est respectivement $p$ et $q$-reconnaissable si et seulement si $E$ est une réunion finie de progressions arithmétiques.
La notion d'ensembles reconnaissables a de très nombreuses caractérisations, en termes de :

  1. Structure logique ou arithmétique de Presburger (ensembles $p$-définissable);
  2. $p$-noyau (introduit par S. Eilenberg);
  3. Séries formelles algébriques sur $\mathbb{F}_p (X)$;
  4. Endomorphismes de monoïdes libres (appelés aussi substitutions);
  5. Pavages autosimilaires;
  6. Automates;
  7. Systèmes de numération standards, non-standards (dans $\mathbb{N}^d$ ou $\mathbb{R}^d$), polynomiaux (dans $\mathbb{F} [X]$).
  8. Iterated fonction systems.
Ceci a donné lieu à de nombreuses généralisations dans des contextes très variés.
L'exposé consistera en un survol de ces résultats.

Jeudi 20 février 2014 à 14h30
Georges Grekos
(Université Jean Monnet (Saint-Étienne))

Un problème additif dans le groupe cyclique d'ordre $n$

Soit $h$ un entier, $h\geq 2~.$ Si $A$ est une partie d'un demi-groupe additif $\textbf{S}$, on note $$hA:=\{x_1+\cdots+x_h~;~x_i\in A~,~1\leq i\leq h\}~.$$ Dans l'exposé $\textbf{S}$ sera soit l'ensemble des entiers naturels $\textbf{ N}:=\{0,1,2,\dots\}~,$ soit le groupe cyclique $G_n:=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}~,$ soit le tore $\mathbb{T}:=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, muni de l'addition modulo 1.
En règle général, on cherche le plus ``petit" ensemble $A\subset\textbf{S}$ tel que $hA=\textbf{S}.$
Le problème est lié à la recherche d'une partie $A$ de $$[n]:=\{0,1,\dots,n-1\}~,$$ de cardinalité minimale, telle que $hA\supset[n]~.$
Je présenterai d'abord des liens entre les quatre situations mentionnées ci-dessus.
Ensuite j'indiquerai une construction qui fournit, dans le cas de $G_n$ et pour certaines valeurs de $h,$ des parties $A$ de $G_n$ vérifiant $hA=G_n~,$ de taille [cardinalité] plus petite que la majoration bien connue $hn^{1/h}~,$ due à Hans Rohrbach [Anwendung eines Satzes der additiven Zahlentheorie auf eine gruppentheoretische Frage. Math. Z. 42 (1937), 538-542].
Travail en cours et en progression avec Jean-Marc Deshouillers (Bordeaux).

Jeudi 6 février 2014 à 14h30
Lukas Spiegelhofer
(Université Technique de Vienne, Autriche)

Approximating Piatetski-Shapiro sequences by Beatty sequences

Integer sequences of the form $\lfloor n^c\rfloor$, where $1<c<2$, can be locally approximated by sequences of the form $\lfloor n\alpha+\beta\rfloor$ in a very good way. Following this approach, we are led to an estimate of the difference \[ \sum_{n\leq x}\varphi(\lfloor n^c\rfloor) - \frac 1c\sum_{n\leq x^c}\varphi(n)n^{1/c-1} , \] where $\varphi$ is an arbitrary bounded arithmetic function, in terms of exponential sums of a particularly simple form. This difference measures the deviation of the mean value of the arithmetic function $\varphi$ on the subsequence $\lfloor n^c\rfloor$ from the expected value, and is therefore expected to be small for ``well behaved'' functions $\varphi$. As an application we prove that for $1<c\leq 1.42$ the subsequence of the Thue-Morse sequence indexed by $\lfloor n^c\rfloor$ attains each of its two values with asymptotic density $1/2$, thereby improving (part of) a result of Christian Mauduit and Joël Rivat by two cents.

Jeudi 9 janvier 2014 à 15h15
Volker Ziegler
(RICAM, Autriche)

On the number of prime factors of $ab+1$

Let $s(k)$ be the smallest integer $m$ such that there is no set $S$ of $k$ primes, such that for some set $A$ of $m$ positive integers $\prod_{a,b\in A}
(ab+1)$ has only prime divisors coming from $S$. For example, one can prove $s(1)=3$ by showing that the Diophantine equation
$$ (ab+1)(ac+1)(bc+1)=p^n$$
has no solution $(a,b,c,n,p)$ with $0<a<b<c$ and $p$ prime. The main purpose of this talk is to discuss the computation of $s(k)$ for small $k$. Of special
interest will be the case $k=2$.

Jeudi 9 janvier 2014 à 14h00
Arne Winterhof
(RICAM, Autriche)

Waring's Problem in Finite Fields

Let $F_q$ denote the finite field of $q$ elements. For an integer $k\ge q$ let $g(k,q)$ be the smallest positive integer such that for any $a\in F_q$ there exist $x_1,\ldots,x_s\in F_q$ with $$x_1^k+\ldots+x_s^k=a.$$ Finding or estimating $g(k,q)$ is called Waring's problem in $F_q$. We describe several methods how to estimate $g(k,q)$ using

  • addition theorems;
  • exponential sums;
  • sum-product theorems;
  • linear programming.
Moreover, we study the {\em polynomial} Waring problem, that is, for a given polynomial $f(X)\in F_q[X]$ determine or estimate the smallest $s$ such that for any $a\in F_q$ there exist $x_1,\ldots,x_s\in F_q$ such that $$f(x_1)+\ldots+f(x_s)=a.$$ We mention results obtained via exponential sums for small degree or sparse polynomials. In particular, for Dickson polynomials sum-product results can be applied as well which give much stronger bounds on $s$. Finally, we extend the results to multivariate Dickson polynomials.

Mardi 17 décembre 2013 à 14h30
Jörg Thuswaldner
(Université de Leoben, Autriche)

Geometry and dynamics of $S$-adic shifts

We consider here Rauzy fractals associated with $S$-adic systems. We prove pure discrete spectrum under a generalized geometric coincidence condition by establishing tiling properties of the Rauzy fractals. We apply these results to Brun and Arnoux-Rauzy continued fractions and prove that almost all of these expansions have pure discrete spectrum. We furthermore exhibit non-trivial bounded remainder sets for almost every toral translation of the two-dimensional torus.

Jeudi 12 décembre 2013 à 14h30
Răzvan Bărbulescu
(LORIA)

Friabilité et logarithme discret

Étant donné un groupe cyclique $G$ et un générateur $t$, le logarithme discret d'un élément $s$ du groupe, noté $\log_ts$, est le plus petit entier positif $x$ tel que $t^x=s$. Le cas du groupe multiplicatif des corps premiers $\mathbb{F}_p^*$ a introduit la théorie de nombres dans les communications sécurisées. Dans cet exposé on parlera des corps premiers, qui font appelle aux corps de nombres, et des corps de petite caractéristique, qui utilisent les corps de fonctions.
L'idée de base pour calculer les logarithmes discrets est de trouver des relations linéaires parmi les différents logarithmes et de résoudre le système linéaire ainsi obtenu. On verra pourquoi on est amenés à estimer la proportions de paires d'entiers $(a,b)$ avec $|a|,|b|\leq x$ tels que $F(a,b)$ est $y$-friable pour un polynôme homogène $F$ à coefficients entiers. L'équivalent pour les corps de petite caractéristique consiste à remplacer les entiers par des polynômes et semble avoir une difficulté plus faible.
Dans l'exposé on verra comment choisir des polynômes $F$ tels que la proportion de friables soit augmentée. Cela fait appelle à une nouvelle fonction appelée $\alpha(f)$, dont les propriétés utilisent le théorème de Hasse-Weil. L'équivalent de ce dernier pour les nombres, l'hypothèse de Riemann, n'étant pas prouvé, on conclut avec un théorème de Lagarias et Odlyzko.

Jeudi 5 décembre 2013 à 14h30
Michel Rigo
(Université de Liège)

Théorème de Cobham pour les numérations abstraites

Un système de numération $S$ associe à chaque naturel $n$, un unique mot $\mathrm{rep}_S(n)$ sur un alphabet fini : la représentation de $n$ dans ce système. On pense naturellement aux systèmes en base entière ou encore aux systèmes construits sur une suite linéaire récurrente, comme la numération de Zeckendorf reposant sur la suite de Fibonacci. D'une manière générale, énumérer par ordre généalogique croissant les mots d'un langage formel $L$ sur un alphabet totalement ordonné $(A,<)$.
Pour une numération fixée $S$, on s'intéresse aux parties $P$ de $\mathbb{N}$ telles que $\mathrm{rep}_S(P)$ est un langage accepté par un automate fini. De tels sous-ensembles sont dits $S$-reconnaissables. En référence à la hiérarchie de Chomsky, l'introduction de cette définition est motivée par la volonté d'avoir à sa disposition des ensembles de nombres associés au modèle de calcul le plus élémentaire qu'il soit.
Le théorème de Cobham de 1969 montre que, dans le cas des bases entières, le caractère reconnaissable d'un ensemble de nombres dépend fortement de la base choisie : toute partie de $\mathbb{N}$ est simultanément $2$-reconnaissable et $3$-reconnaissable si et seulement si il s'agit d'une union finie de progressions arithmétiques. Ainsi, il existe des ensembles $2$-reconnaissables qui ne sont pas $3$-reconnaissables. Ce théorème est à la base d'une étude systématique des numérations non standards et, en particulier, il est à l'origine de l'introduction des numérations abstraites. Le théorème de Cobham a été généralisé à de nombreux contextes. Les travaux de F.~Durand fournissent une version "substitutive" de ce résultat (on considère des ensembles de nombres dont la suite caractéristique est la projection d'un mot infini engendré par morphisme itéré).
Cet exposé est basé sur des travaux en cours avec E. Charlier et J. Leroy. Après une introduction générale aux ensembles reconnaissables, nous ferons le lien entre numération abstraite et mots engendrés par morphisme itéré pour obtenir un analogue au théorème de Cobham : Si un ensemble d'entiers est reconnaissable pour deux numérations ``indépendantes'', alors cet ensemble est une union finie de progressions arithmétiques.

Jeudi 21 novembre 2013 à 14h30
Jean-Marie De Koninck
(Université Laval de Québec)

Sur le plus grand facteur premier et ses nombreux amis

Soit $P(n)$ le plus grand facteur premier de l'entier positif $n$. Considérons la fonction "noyau tronqué" $\gamma_2(n):=\gamma(n)/P(n)$, où $\gamma(n)=\prod_{p|n}p$ est la fonction noyau bien connue. Nous étudions le comportement de $\gamma_2(n)$, en examinant en particulier son comportement global, son ordre maximal, la somme de ses valeurs réciproques et sa fonction de distribution. Nous établissons aussi le comportement asymptotique de la somme des réciproques du facteur premier milieu des entiers positifs $n$ n'excédant pas $x$, répondant ainsi en partie à une question posée par Paul Erdös. Enfin, nous examinons la fréquence d'apparution de chaînes d'entiers consécutifs dont chacun est divisible par une puissance de son plus grand facteur premier.

Jeudi 14 novembre 2013 à 14h30
Sinisa Slijepcevic
(Université de Zagreb)

Upper bounds for the van der Corput property of sets

Given a van der Corput set of integers $D$, the arithmetic function $\gamma(n)$ measures "how quickly" a set is becoming a van der Corput set as $n \rightarrow \infty$. It is known that a set is van der Corput (vdC) if and only if $\gamma(n) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$. We however give the first upper bounds to the function $\gamma(n)$ for the sets of perfect squares; shifted primes $p-1$, and integer values of an odd polynomial $P(n)$.
We also show that upper bounds to $\gamma(n)$ imply upper bounds to the maximal size of a set $A$ such that $A-A$ does not contain $D$; and to quantifying the uniform distribution of $D$. Furthermore, we give an ergodic-theoretical characterization of (vdC) and the function $\gamma(n)$, in terms of operators on an arbitrary Hilbert space.
Finally, we discuss some conjectures regarding upper bounds for higher dimensional vdC sets, and their relationship with bounds related to Roth and Szemeredi theorems on arithmetic sequences.

Jeudi 07 Novembre 2013 à 15h00
Manfred Madritsch
(Université de Lorraine)

Ensembles de van der Corput

On appelle $H\subset\mathbb{N}$ un ensemble de van der Corput si on peut montrer que si la suite $(x_{n+h}-x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est équirépartie (mod 1) pour tout $h\in H$, alors $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est aussi équirépartie (mod 1). Van der Corput a montré que l'ensemble $H=\mathbb{N}$ est un ensemble de van der Corput. On peut dire que la recherche des ensembles les plus petits commence avec les articles de Furstenberg, Kamae, Mendès-France et Sárközy. En particulier, ils peuvent montrer que les ensembles suivants sont des ensembles de van der Corput :

  1. $(I-I)^+=\{i-j\colon i\in I, j\in I, i>j\}$, où $I$ est un ensemble infini d'entiers arbitraires ;
  2. $\{n^2\colon n\in\mathbb{N}\}$ ;
  3. $\mathbb{P}+1$ et $\mathbb{P}-1$, où $\mathbb{P}$ réprésente l'ensemble des nombres premiers.
Dans la première partie d'exposé j'aimerais revenir sur l'histoire des ensembles de van der Corput et leur lien avec des ensembles Poincaré, des ensembles d'intersection et l'equirépartition.
Un article récent de Bergelson et al. montre un lien entre l'equirépartition et les ensembles de van der Corput multidimensionnel. Je vais viser ce résultat et ses conséquences dans la deuxième partie d'exposé.

Jeudi 17 Octobre 2013 à 14h30
Christopher Frei
(Université de Munich)

Rational points on del Pezzo surfaces

A conjecture of Manin predicts an asymptotic formula for the number of rational points of bounded height on Fano varieties over number fields. In the last years, Manin's conjecture was proved for many specific del Pezzo surfaces (Fano varieties of dimension $2$) over the field $\mathbb{Q}$ of rational numbers by means of analytic number theory.
We briefly introduce Manin's conjectue and some of the results mentioned above. Then we discuss recent generalizations to number fields beyond $\mathbb{Q}$.

Jeudi 10 Octobre 2013 à 14h30
Florian Luca
(Universidad Nacional Autónoma de México)

On the counting function of irregular primes

A prime $p>3$ is irregular if it divides the numerator of one of the Bernoulli numbers $B_2,\ldots,B_{p-3}$. It is known that there are infinitely many irregular primes. In my talk, I will show that the number of irregular primes $p\le x$ is at least as large as $$(1+o(1))\frac{\log\log x}{\log\log\log x}$$ as $x\to\infty$. The proof uses sieves and linear forms in logarithms.
This is joint work with Amalia Pizarro from the University of Valparaiso, Chile.

Les séminaires passés de l'année universitaire 2012/13 :

Jeudi 27 Juin 2013 à 14H30
Bruno Martin (Université du Littoral Côte d'Opale)

Sur un problème de Davenport et la méthode des équations fonctionnelles

Jeudi 13 Juin 2013 à 14H30
Armand Lachand (IECL)

Valeurs friables de formes binaires de degré 3

Jeudi 06 Juin 2013 à 14H30
Joël Rivat (Marseille, Luminy)

Les nombres premiers et leurs chiffres

Jeudi 18 Avril 2013 à 14H30
Sary Drappeau (Paris 7)

Progrès récents concernant les friables

Jeudi 18 avril 2013 à 15H45
Anne de Roton (IECL)

Groupe de travail sur les normes de Gowers

Jeudi 28 mars 2013 à 14H30
Jie Wu (IECL)

Moyennes de certaines fonctions multiplicatives

Jeudi 21 Mars 2013 à 14H30
Anne de Roton (IECL)

Groupe de travail sur les normes de Gowers

Jeudi 14 Mars 2013 à 14H30
Gérald Tenenbaum (IECL)

Répartition du noyau d'un entier et applications

Jeudi 14 Mars 2013 à 15H45
Anne de Roton (IECL)

Groupe de travail sur les normes de Gowers

Jeudi 21 février 2013 à 14H30
Wolfgang Schmid (Paris 8)

Quelques résultats

Jeudi 21 février 2013 à 15H45
Anne de Roton (IECL)

Groupe de travail sur les normes de Gowers

Jeudi 14 février 2013 à 14H30
Wolfgang Steiner (Paris 7)

Distribution des blocs de chiffres

Jeudi 7 février 2013 (salle 313) à 14H30
Thomas Stoll (IECL)

Fonction de Möbius et système de Walsh

Jeudi 17 Janvier 2013 à 14H30
Anne de Roton (IECL)

Ensembles maximaux sans k-sommes

Jeudi 10 Janvier 2013 à 14H30
Cécile Dartyge

Le problème de Tchébychev pour le douzième polynôme cyclotomique

Jeudi 13 Décembre 2012 (salle 313) à 14H30
Cécile Dartyge (IECN)

Le problème de Tchébychev pour le douzième polynôme cyclotomique

Mardi 20 Novembre 2012 à 14H30
Jyoti Sengupta (T.I.F.R., Inde)

On effective determination of Maass forms from central values of Rankin-Selberg L-function

Jeudi 15 Novembre 2012 à 14H30
Zhao Xu (IECN, Shandong University)

Nonvanishing of automorphic L-functions

Jeudi 25 Octobre 2012 à 14H30
Jie Wu (IECN)

Moments réels positifs de coefficients de Fourier

Jeudi 18 Octobre 2012 à 14H30
Cécile Dartyge (IECN)

Complexité de familles d'ensembles pseudo-aléatoires

Jeudi 11 Octobre 2012 à 14H30
Mouloud Goubi (Université de Tizi-ouzou)

La preuve de la Conjecture de Möbius revisitée

Jeudi 20 Septembre 2012 à 16H30
R. Balasubramanian (Chennai, Inde)

Monotonicity properties of additive representations