Groupe de Travail des Doctorants

Institut Elie Cartan, Université de Lorraine

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Responsables
Nom Prénom Domaine

Alvarez

Benjamin

Théorie de la diffusion pour des modèles mathématiques de l'interaction faible

Brachet

Matthieu

Schémas compacts hermitiens sur la sphère

Riblet

Tom

Théorie ergodique et percolation

Karmann

Clémence

Inférence de réseau pour modèles inflatés en zéros

Programme à l'anné

  • Mardi 19 juin, 14h00 - 16H00 : Baradat Aymeric, Ecole polytechnique

    Modèle de Brenier et équation d'Euler cinétique

    Suivant les idées d'Arnol'd, Brenier a proposé en 1989 un modèle variationnel en lien avec le transport optimal pour décrire l'évolution d'un fluide incompressible et non-visqueux. L'équation d'Euler-Lagrange de ce problème de minimisation peut-être interprété comme un système d'équations aux dérivées partielles de type Vlasov, d'ores et déjà étudié dans le cadre de la physique des plasmas (parfois sous le nom d'équation d'Euler cinétique). Après avoir défini le modèle de Brenier et donné certaines propriétés de ses solutions, nous verrons le type d'information que l'on peut tirer de l'étude de l'équation d'Euler cinétique.

  • Mardi 22 mai, 15h00 - 17H00 : Marrakchi Amine, Université d'Orsay

    Les algèbres de von Neumann

    La théorie des algèbres d'opérateurs fut fondée en 1930 par John von Neumann qui cherchait à formaliser mathématiquement la toute jeune théorie de la mécanique quantique. L'idée est de remplacer l’algèbre commutative des observables décrivant un système classique, par une algèbre d’opérateurs sur un espace de Hilbert qui n'est plus nécessairement commutative. Pour le physicien, la non-commutativité encode alors les propriétés quantiques du système ainsi que sa dynamique. Pour le mathématicien, elle est aussi la source de quantité de phénomènes surprenants et de liens forts et féconds avec la théorie ergodique, la théorie des groupes et de leurs représentations, la topologie en basse dimension etc... Au cours de cet exposé, je donnerai un petit aperçu de la théorie des algèbres de von Neumann et je présenterai quelques résultats de recherche récents.

  • Mardi 17 Avril, 14h00 - 16H00 : Bekhouche Rania, IECL (Metz)

    Study of the existence, uniqueness of solutions and Stability for Bresse system with three infinite memories and three discrete time delays.

    The objective of this work is the mathematical study for a Bresse system, consisting of coupled three wave equations in one dimensional open bounded domain. This system has its origin in the mechanics of structures and especially in the balance of elastic bars. We are interested in Bresse systems with three memories and three delays. The aim is the proof of the well-posedness and exponential stability of this system under some hypotheses.

    Version pdf de l'exposé

  • Mardi 10 avril, 14h00 - 16H00 : Triay Arnaud, Université Paris-Dauphine (Ceremade)

    Condensation de Bose-Einstein : une dérivation du modèle de Gross-Pitaevskii

    L’exposé commencera par un bref rappel du formalisme de la mécanique quantique. Il traitera ensuite de la justification de la théorie de Gross-Pitaevskii à partir du problème à N corps. C’est une théorie effective qui est censée prévoir l’énergie fondamentale d’un gaz de bosons (dans un certain régime), son état fondamental et l’évolution de ce dernier au cours du temps. En particulier pour la dérivation de l'énergie, j'exposerai une méthode basée sur l’utilisation d’une version quantique du théorème de de Finetti.

  • Mardi 27 mars, 14h00 - 16H00 : Baptiste Louf, université PARIS DIDEROT

    Introduction aux cartes combinatoires

    Une carte est une structure combinatoire qui décrit le plongement d’un graphe sur une surface. Les cartes sont, de par leur structure très riche, des objets très importants en combinatoire énumérative. Elles sont également au croisement de plusieurs domaines des mathématiques (informatique graphique, physique théorique, géométrie algébrique), ce qui fait qu’elle ont été très étudiées dans les cinquante dernières années. Après quelques principes de base de combinatoire énumérative, je présenterai quelques résultats standards de combinatoire des cartes. Je présenterai ensuite les liens entre les cartes et d’autres domaines des mathématiques, en me concentrant sur un exemple particulier : celui des limites de cartes aléatoires et leur lien avec la « gravité quantique 2D ». Si le temps le permet, j’expliquerai brièvement ce sur quoi je travaille, à savoir les liens entre les cartes et la hiérarchie KP.

  • Mardi 13 mars, 14h00 - 16H00 : Sadeq Khadim, IECL

    Estimation de la variable latente par récursions Kalman généralisées

    Je parlerai des modèles espace-état où les observation sont multi-catégoricalles et longitudinales, et l'état est décrit par des modèles du type CHARN. Nous estimons l'état au moyen des récursivités de Kalman généralisées. Celles-ci reposent sur l'application d'une variété de filtres particulaires et de l’algorithme EM. Nos résultats sont appliqués à l'estimation du trait latent en qualité de vie. Ce qui fournit une alternative et une généralisation des méthodes existantes dans la littérature. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques et une application aux données réelles sur la qualité de vie des femmes ayant subi une opération pour cause de cancer du sein.

  • Mardi 6 mars, 14h00 - 16H00 : Jérémy Vithya Sok, Universität Basel

    Opérateur de Dirac à entrelacs magnétiques

    Travail réalisé conjointement avec Fabian Portmann et Jan Philip Solovej.

    Je parlerai d’opérateurs de Dirac en dimension 3 ayant des champs magnétiques singuliers qui sont supportés sur des entrelacs lisses. Un entrelacs est une sous- variété de R 3 homéomorphe à une union finie et disjointe de cercles, leurs images constituant ici les lignes de champs des champs magnétiques considérés. Je m’intéresserai aux noyaux des opérateurs correspondants et dont les éléments non nuls sont appelés zéro modes. Ils apparaissent originellement dans un problème de stabilité de la matière. Bien que beaucoup d’exemples ont été trouvés, on ne comprend toujours pas bien les caractéristiques-clefs du champ magnétique qui les causent. Ici, le flux porté par chaque ligne de champ présente une 2π-périodicité, amenant naturellement à l’étude du flot spectral de lacets de tels opérateurs (le flot spectral correspond au nombre de valeurs propres traversant 0 le long du lacet, comptées de manière algébrique). Ainsi, par exemple, le lacet obtenu en faisant varier un flux de 0 à 2π a génériquement un flot spectral non nul. Ce dernier dépend de l’intrication des lignes de champ, mais aussi de leurs formes.

  • Mardi 13 février, 16h15 - 18H15 : Acosta Miguel

    Les volumes hyperboliques sont bien ordonnés.

    Le théorème de Jorgensen affirme que l'ensemble des volumes des variétés hyperboliques (complètes) de dimension 3 est une partie de R bien ordonnée. Le but de cet exposé est de comprendre les termes de cet énoncé et de se donner des éléments de preuve de ce résultat surprenant. On introduira les espaces hyperboliques de dimension 2 et 3, pour ensuite rentrer dans le monde des variétés hyperboliques de dimension 3 afin d'établir le lien entre leur topologie et ce mystérieux ensemble de volumes.

  • Mardi 6 février, 14h00 - 16H00 : Vergnet Fabien, Université d'Orsay

    Structures actives dans un fluide visqueux

    Le déplacement de micro-organismes dans des fluides biologiques est un problème d'interaction fluide-structure, qui peut se modéliser mathématiquement par un système d'équations aux dérivées partielles. La spécificité de ces structures biologiques est d'être capables de se déformer d'elles-mêmes, grâce à des moteurs internes. Néanmoins, nous verrons que toutes les déformations ne sont pas efficaces, notamment à cause du caractère visqueux des fluides biologiques. L'exposé fera un tour d'horizon de l'interaction fluide-structure à bas nombre de Reynolds, de la modélisation des structures actives, ainsi que de la résolution numérique du problème.

  • Mardi 23 janvier, 14h00 - 16H00 : Lietard Florian, IECL

    Evitabilité des k-puissances additives en combinatoire des mots.

    L'étude de l'évitabilité de certains schémas en combinatoire des mots est un champ de recherche qui remonte au début du siècle dernier avec les travaux d'Axel Thue. En 2011, un article de J. Cassaigne, J. D. Currie, L. Schaeffer et J. Shallit montrait qu'il était possible, en utilisant un alphabet de 4 chiffres, de construire un mot infini qui évite les cubes additifs. Autrement dit on ne peut pas trouver dans ce mot trois blocs consécutifs de mêmes tailles et de mêmes sommes de chiffres. Au delà de ce résultat, l'étude de la structure de cette preuve permet d'étendre le travail effectué par Cassaigne et al. et d'émettre plusieurs conjectures sur les mots évitant les cubes additifs. Le cas resté non-résolu à l'heure actuelle est celui des carrés additifs pour lequel certaines pistes peuvent être explorées.

  • Mardi 9 janvier, 14h00 - 16H00 : Kfoury Dimitry, IECL

    Groupes de Coxeter

    Cet exposé sera un nano-cours sur les groupes de Coxeter. Je commencerai par définir ces genres de groupes. Ensuite, j'énoncerai les premières propriétés des groupes de Coxeter et leur théorème de caractérisation. Je terminerai par la définition d'une matrice et d'un graphe de Coxeter et si je temps le permet, j'énoncerais un théorème de classification.

    Version pdf de l'exposé

  • Mardi 19 décembre, 13h15 - 15h15 : Touchard Pierre, Universität Münster

    Brève introduction à la théorie des modèles.

    La théorie des modèles permet d'étudier toute sorte de structures algébriques (groupes, corps, modules, graphes... ) en considérant les formules du premier ordre que satisfont ces structures. Après avoir donné les définitions de base, je présenterai une preuve du théorème de compacité, qui est un outil essentiel de la logique mathématiques : un ensemble infini d'axiomes est non-contradictoire si et seulement si toute partie finie des axiomes est non-contradictoire. Je parlerai également au travers de quelques exemples de propriétés importantes telle que l'élimination des quantificateurs. Enfin j'espère terminer sur une application concrète avec le théorème d'Ax-Kochen.

  • Mardi 5 décembre, 13h15 - 15h15 : Bougron Jean François, Université de Cergy-Pontoise

    La formule de Green-Kubo pour les systèmes en interactions répétées

    La formule de Green-Kubo exprime les courants de chaleur provoqués par une légère perturbation d'un équilibre thermique, en terme de corrélation entre les flux de chaleurs des sources chaudes et froides. Elle s'inscrit dans le cadre plus général de la réponse linéaire des courants d'énergie (relations de réciprocité d'Onsager et théorème de limite centrale) et des théorèmes de fluctuations de l'entropie (symétrie d'Evans-Searles et grandes déviations). Les systèmes en interactions répétées (SIR) sont un ensemble de modèles de physique quantique inspirés de l'expérience du One-Atom Maser : un faisceau d'atomes traverse une cavité électromagnétique. Dans cet exposé, on suppose que les atomes arrivent à des températures distinctes T1, T2, ..., Tm, de façon cyclique. On souhaite alors remontrer la formule de Green-Kubo dans une version adaptée à la dynamique discrète des SIR.

  • Mardi 21 novembre, 14h00 - 16h00 : Spyros Afentoulidis, IECL

    Opérateurs Différentiels sur des Espaces Homogènes

    Dans cet exposé nous allons étudier des opérateurs différentiels invariants entre des fibrés homogènes au-dessus d'un espace homogène G/H. Ces opérateurs jouent un rôle important dans la théorie des représentations puisque leurs noyaux admettent une action de G. Plus précisément, nous allons présenter un résultat du à À. Korayani et H.M. Reimann (2000) qui nous permet d'obtenir une vue algébrique de ces objets analytiques en termes de l'algèbre enveloppante U(g) de g.

  • Mardi 7 novembre, 14h00 - 16h00 : Roby Simon, IECL

    Analyse harmonique sphérique sur les fibrés homogènes

  • Mardi 17 octobre, 14h00 - 16h00 : Côme Rémi, IECL

    Opérateurs pseudo-différentiels et groupoïdes

    Je commencerai par expliquer dans les grandes lignes ce qu'on appelle calcul pseudo-différentiel, qui est une construction très utile pour l'étude de la régularité des solutions d'EDP. Il permet en particulier de construire des "quasi-inverses" aux opérateurs différentiels elliptiques, modulo un reste. Sur une variété M compacte sans bords ce reste est un opérateur compact, ce qui implique plusieurs propriétés intéressantes pour l'EDP étudiée.

    Lorsque M n'est plus compacte, on aimerait quand même obtenir des conditions pour qu'un opérateur différentiel soit "inversible modulo un opérateur compact". Une manière de résoudre ce problème de façon géométrique est d'introduire une structure appelée "groupoïde" qui permet de construire un calcul pseudo-différentiel adapté au cas considéré. On se concentrera sur l'exemple de R^n pour voir les nouveaux phénomènes qui apparaissent, avant d'évoquer (si le temps le permet) le cas de variétés plus générales.

  • Mardi 10 octobre, 14h00 - 16h00 : Alvarez Benjamin, IECL

    Complétude asymptotique pour un modèle mathématique de l'interaction faible.

    La désintégration du boson W en un lepton et le neutrino qui lui est associé peut être modélisé par un espace de Fock, qui est un espace d'Hilbert particulier, et un opérateur autoadjoint. Les grandeurs physiques mesurables sont des éléments du spectre de cet opérateur qui peut être scindé en trois parties : le spectre ponctuel, absolument continu et singulièrement continu. Le sous-espace d'Hilbert associé à la partie absolument continue du spectre contient les états diffusés qui sont asymptotiquement libres (c'est-à-dire se comportant, en temps infini, comme s'il n'y avait aucune interaction). Physiquement, il est souhaitable que l'image d'un tel état par l'hamiltonien soit encore asymptotiquement libre, ce qui correspond, intuitivement, à la complétude asymptotique. On peut de plus lui associer un vecteur libre dit entrant. De la même façon, un vecteur libre sortant peut être associé à son image. Il serait alors possible de construire un opérateur appelé matrice de diffusion, ou de scattering, associant l'élément entrant au sortant. L'objectif de toute théorie de la diffusion est de prouver l'existence un tel opérateur et de prouver la complétude asymptotique. Le spectre et le comportement asymptotique sont étudiés grâce à une théorie de Moore. L'objectif de cette présentation est de donner un sens rigoureux à toutes ces notions et d'introduire les outils fondamentaux utilisés dans cette branche de la physique mathématique.